Prüfen der Konvergenz von ∑∞n=1 2-n* (2n)! / 2n!

Question

 

ich sitze an einer Aufgabe fest und zwar soll ich die Reihe auf Konvergenz überprüfen. Die Fakultät erschwert mir beim Lösen der Aufgabe

Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte T_T  

∑∞_n=1  2^-n* (2n)! / 2n!

Answer 1

Betrachtet wird die Reihe:

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ -n }(2n)! }{ 2n! }  } =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { (2n)! }{ { 2 }^{ n }*2n! }  }$$

Nutzt man das Quotientenkriterium, dann lassen sich in vielen Fällen die Fakultäten herauskürzen:

$$\left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  \right|$$$$=\left| \frac { \frac { (2*(n+1))! }{ { 2 }^{ n+1 }*2*(n+1)! }  }{ \frac { (2n)! }{ { 2 }^{ n }*2*n! }  }  \right|$$$$=\left| \frac { (2*(n+1))! }{ { 2 }^{ n+1 }*2*(n+1)! } *\frac { { 2 }^{ n }*2*n! }{ (2n)! }  \right|$$$$=\left| \frac { (2n+2)! }{ { 2 }^{ n+1 }*2*n!(n+1) } *\frac { { 2 }^{ n+1 }*n! }{ (2n)! }  \right|$$$$=\left| \frac { (2n)!*(2n+1)*(2n+2) }{ { 2 }^{ n+1 }*2*n!(n+1) } *\frac { { 2 }^{ n+1 }*n! }{ (2n)! }  \right|$$$$=\left| \frac { (2n+1)*(2n+2) }{ 2*(n+1) }  \right|$$$$=\left| \frac { (2n+1)*(2n+2) }{ (2n+2) }  \right|$$$$=\left| 2n+1 \right|$$

Es gilt: \(\left| 2n+1 \right| \ge 1\) für fast alle n ∈ N (sogar für alle n ∈ N), also ist die Reihe:$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ -n }(2n)! }{ 2n! }  }$$ divergent.