Konvergenz prüfen bei Reihe mit Fakultät

Question

Aufgabe: Überprüfen Sie die Reihe auf Konvergenz:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}2 n+3 \\ n\end{array}\right) 6^{-n} \)

Problem/Ansatz:

Ich bin bis jetzt mit dem Quotientenkriterium vorgegangen. Aber ich habe leider große Probleme beim kürzen/vereinfachen. Also im Grunde hört es bei mir nach dem Quotienten bilden schon relativ bald auf dass ich weiter weiß.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde für die$$a_n\coloneqq\binom{2n+3}{n}\,6^{-n}$$das Quotientenkriterium nutzen:$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\binom{2(n+1)+3}{n+1}\,6^{-(n+1)}}{\binom{2n+3}{n}\,6^{-n}}=\frac{\binom{2n+5}{n+1}\cdot\cancel{6^{-n}}\cdot\frac16}{\binom{2n+3}{n}\cdot\cancel{6^{-n}}}=\frac{\frac{(2n+5)!}{(n+1)!\cdot(n+4)!}}{6\cdot\frac{(2n+3)!}{n!\cdot(n+3)!}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac16\cdot\frac{(2n+5)!}{(2n+3)!}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+3)!}{(n+4)!}=\frac16\cdot\frac{(2n+5)(2n+4)}{1}\cdot\frac{1}{n+1}\cdot\frac{1}{n+4}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\frac16\cdot\frac{4n^2+10n+8n+20}{n^2+n+4n+4}=\frac16\cdot\frac{4n^2+18n+20}{n^2+5n+4}=\frac16\cdot\frac{4+\frac{18}{n}+\frac{20}{n^2}}{1+\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}\to\frac16\cdot\frac{4+0+0}{1+0+0}=\frac46=\frac23<1$$Die Reihe konvergiert daher absolut.

Comments

Wow super, dankeschön!

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Dürfte ich nur noch wegen dem Schritt wo sich die Fakultäten dann auflösen fragen was da genau passiert? Das kann ich leider noch nicht so ganz nachvollziehen.

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Klar, wenn man das noch nicht gesehen hat, ist das schwierig zu verstehen.$$\overbrace{\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots n}_{=n!}\cdot(n+1)}^{=(n+1)!}\quad\implies\quad(n+1)!=n!\cdot(n+1)$$

Man spaltet von der höheren Fakultät hinten einzelne Faktoren ab, solange bis man die vordere Fakultät wegkürzen kann. Ich mache mal die nötigen Zwischenschritte:$$\frac{(2n+5)!}{(2n+3)!}=\frac{(2n+3)!\cdot(2n+4)\cdot(2n+5)}{(2n+3)!}=\frac{(2n+4)(2n+5)}{1}$$$$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{n!}{n!\cdot(n+1)}=\frac{1}{n+1}$$$$\frac{(n+3)!}{(n+4)!}=\frac{(n+3)!}{(n+3)!\cdot(n+4)}=\frac{1}{n+4}$$

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Ahhh ich verstehe. Ziemlich schlau. Dankeschön!

Answer 2

Zeig doch erstmal, was du schon so hinbekommen hast.

Comments

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}2 n+3 \\ n\end{array}\right) 6^{-n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+3 ! !}{n !(2 n+3) !-n ! 6} 6^{-n} \)
\( Q K: \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(2(n+1)+3) !}{(n+1) !((2(n+1)+3) !-(n+1) !) \cdot 6^{n+1}}\right| \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mid \frac{\frac{(2 n+5) !}{(n+1) !(2 n+5) !-(n+1) ! \cdot 6}}{(2 n+3) !} \)
\( \frac{n !((2 n+3) !-n !)}{(12 n+3) !-n !) 6} \)

Wie gesagt wirklich nicht viel. Habe natürlich schon weiter versucht, aber bin mir ziemlich unsicher wie ich das weiter vereinfachen kann ohne dass es komplett falsch ist.. Also komme halt auch nicht wirklich auf ein Ergebnis durch meine Versuche.