Wo ist die Funktion konkav?

Question

Betrachten Sie die Funktion $$f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+a }{ x }$$, wobei a > 0 eine Konstante ist und x

x ̸= 0 gilt.

Eine Funktion ist ja konkav, wenn f''(x) <= 0 ist. Also bilde ich die zweite Ableitung der Funktion und ermittle die Nullstelle. Dann überprüfe ich mit Werten die kleiner und Werten die größer sind ob die Funktion konkav oder konvex ist.

Die erste Ableitung ist : (x^2 + a) / x^2

Die zweite Ableitung: (x^2 + a) / x^4

0 Ist die Nullstelle der Funktion. Aber egal welchen Wert, ob negativ oder positiv, ich bekomme ja immer einen positiven Wert raus. Somit ist die Funktion doch eigentlich konvex, bzw. strikt konvex. Oder habe ich einen Fehler in der Ableitung gemacht?

Answer 1

Ich erhalte mit der Quotientenregel folgende Ableitungen:

f ' ( x ) = ( 2 x * x - ( x ² + a ) * 1 ) / x ² = ( 2 x ² - x ² - a  ) / x ² = ( x ² - a ) / x ²
= 1 - ( a / x ² )

f ' ' ( x ) = - ( 0 * x ² - a * 2 x ) / x ⁴ ) = ( 2 a ) / x ³

Hilft dir das nun weiter?

Comments

Dann ist 0 meine Nullstelle. Wenn ich nun 1 einsetze  erhalte ich 1. Auch bei dieser Ableitung bekomme ich nie ein Ergebnis welches <0 ist, somit verstehe ich nicht wieso die Funktion konkav sein soll.

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Natürlich kann \(\frac{2a}{x^3}\) negativ sein. Aber die zweite Ableitung hat keine Nullstelle.

Und wie kommst du auf 1, wenn du 1 einsetzt? Das Ergebnis ist doch abhängig von a.

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Achja stimmt, die zweite Ableitung hat ja überhaupt keine Nullstelle.  Das Ergebnis ist also x<0 oder x∈(−∞,0).

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Ja.

(So, ich muss jetzt noch irgendwas schreiben, weil ich mind. 12 Buchstaben haben muss; meiner Meinung nach ist diese Regel ziemlich unnötig)

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Auch ich unterstütze dieses Ergebnis.

Hier ein Schaubild der Funktion für a = 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%C2%B2%2B1%29%2Fx

Man sieht: Für x < 0 ist die Funktion konkav.

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Vielleicht doch noch eine Verbesserung:

Eine Funktion ist ja nicht für irgendeinen x-Wert konkav, sondern nur auf einer Menge. D.h. man sollte nicht sagen, dass die Funktion für x<0 bzw. für \(x\in (- (\infty, 0)\) konkav ist, sondern: Die Funktion ist konkav auf (der Menge) \((-\infty, 0)\).