Potenzreihe Σ aj(z-a)^j, j ist Summationsindex und Konvergenzradius der Reihe?

Question

Aufgabe:

Sei \( \sum \limits_{j=0}^{\infty} a_{j}(z-a)^{j} \) eine Potenzreihe in der alle Koeffizienten von null verschieden sind. Zeigen Sie: Wenn

\( r:=\lim \limits_{j \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{j}\right|}{\left|a_{j+1}\right|} \in[0, \infty] \)

existiert, dann ist \( r \) der Konvergenzradius dieser Potenzreihe.

Σ aj(z-a)^j, j ist Summationsindex.

Answer 1

die Folge r^ja_j muss eine Nullfolge sein. D.h. ab einem j₀ muss gelten |r^ja_j|/|r^j+1a_j+1|<1

fuer   j→∞ gilt |r^ja_j|/|r^j+1a_j+1|=1, dann nach r aufloesen und r= lim j→∞ |a^j|/|a_j+1|