Habe Schwierigkeiten bei der folgenden Werbewirkungsfunktion m = a+(b-a)W^x/(W^x + WN^x)

Question

Folgende Werbewirkungsfunktion ist gegeben:

\( m=a+(b-a) \cdot \frac{W^{x}}{W^{x}+W_{N}^{x}} \)

mit:

a = 0,3

b = 0,7

Wn = 80.000

W = 100.000

m = 55,87%

Wie löse ich die Gleichung nach x? Der Wert für x soll 2,709511291 betragen. Wie komme ich zu diesem Ergebnis.

Answer 1

Gut, versuchen wir es einmal :-)

 

0,5587 = 0,3 + (0,7 - 0,3) * 100.000^x / (100.000^x + 80.000^x) | -0,3

0,5587 - 0,3 = 0,4 * 100.000^x / (100.000^x + 80.000^x) | : 0,4

0,64675 = 100.000^x / (100.000^x + 80.000^x) | * (100.000^x + 80.000^x)

0,64675 * 100.000^x + 0,64675 * 80.000^x = 100.000^x | : 100.000^x

0,64675 + 0,64675 * 80.000^x / 100.000^x = 1 | -0,64675

0,64675 * 80.000^x / 100.000^x = 0,35325 | : 0,64675

80.000^x / 100.000^x = 0,35325/0,64675

(80.000 / 100.000)^x = 0,35325 / 0,64675

0,8^x = 0,35325 / 0,64675 | Logarithmus zur Basis 0,8

x = ln (0,35325/0,64675) / ln (0,8) ≈ 2,710290286

 

Leider eine kleine Abweichung zu dem Dir vorliegenden Ergebnis - vielleicht habe ich mich irgendwo vertippt :-)

 

Besten Gruß

Comments

Habe da noch ein Problem.

 

Wie erhalte ich die Werte b2 und b3?

 

Vielen Dank

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Das alte Problem:

Eine Gleichung, zwei Unbekannte: Da gibt es natürlich keine eindeutige Lösung.

 

Man könnte ohne weitere Angaben lediglich b3 im Verhältnis von b2 angeben (oder umgekehrt):

0,35 = 0,25 + 0,2 * 2000000^b2/(b3 + 2000000^b2) | - 0,25

0,10 = 0,2 * 2000000^b2/(b3 + 2000000^b2) | : 0,2

0,5 = 2000000^b2 / (b3 + 2000000^b2) | * (b3 + 2000000^b2)

0,5 * (b3 + 2000000^b2) = 2000000^b2

0,5 * b3 + 0,5 * 2000000^b2 = 2000000^b2 | - 0,5 * 2000000^b2

0,5 * b3 = 0,5 * 2000000^b2 | * 2

b3 = 2000000^b2

 

Soweit klar?

:-)

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b3 kann ich dann in die erste Gleichung einsetzen, um b2 zu berechnen?

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In welche erste Gleichung?

In

m = b₁ + (b₀ - b₁) ...

?

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In die Gleichung:

\( 0,3=0,25+0,2 \times \frac{800000^{b 2}}{b 3+800000^{b 2}} \)

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Ja, das sollte möglich sein - so in etwa würde dann der Rechenweg aussehen:

 

0,3 = 0,25 + 0,2 * 800.000^b2/(2.000.000^b2 + 800.000^b2) | - 0,25

0,1 = 0,2 * 800.000^b2 / 2.800.000^b2 | : 0,2

0,5 = 800.000^b2 / 2.800.000^b2

0,5 = (800.000/2.800.000)^b2

0,5 ≈ 0,2857142857^b2 | Logarithmus zur Basis 0,2857142857

b2 ≈ ln(0,5)/ln(0,2857142857) ≈ 0,5532947556

 

Nicht besonders schön :-)

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die Rechenschritte habe ich soweit verstanden.

 

Aber die Ergebnisse stimmen nicht mit den Lösung überein, die ich habe. Vielen Dank für die Hilfe.

 

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Äh,
da habe ich wohl irgendwie daneben gelegen :-(

Im Zweifelsfall kann man sich immer die Lösungen vom Mathecoach ansehen, dann ist man auf der sicheren Seite :-)

S.u.

Answer 2

ich nenne b2 mal x und b3 y

0.3 = 0.25 + 0.2·800000^x/(y + 800000^x)   | nach y auflösen
y = 3·800000^x

0.35 = 0.25 + 0.2·2000000^x/(y + 2000000^x)   | nach y auflösen
y = 2000000^x

Gleichsetzen

3·800000^x = 2000000^x
x = LN(3)/LN(5/2) = 1.198977846

Das können wir noch in eine Gleichung einsetzen um dann auch y auszurechnen.

Comments

Super.


Können sie mir noch kurz den letzten Teil erklären?


3·800000x = 2000000x -> (ln 3 + x ln 800.000= x ln 2.000.000???)
x = LN(3)/LN(5/2) = 1.198977846

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3·800000^x = 2000000^x

800000^x / 2000000^x = 1/3

(800000 / 2000000)^x = 1/3

(2 / 5)^x = 1/3

x = LN(1 / 3) / LN(2 / 5) = ...