Extrempunkte von f(x) = x^3 e^{−x} berechnen

Question

Bitte überprüft mal meine Lösung bei dieser Aufgabe: 

Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion f(x) = x³e^−x und geben Sie jeweils an, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. Geben Sie auch jeweils an, ob es sich um einen globalen oder lokalen Extrempunkt handelt.

Ich leite die Funktion ab und bestimmte die Nullstellen der Ableitung.

f'(x) = e^-x(3x²-x³) e^-x wird niemals 0. Also muss ich mich nur um die Nullstellen der kubischen Funktion in der Klammer kümmern. Diese Nullstellen sind 3 und 0. Ich überprüfe die Monotonie um die Nullstellen und erhalte das Ergebnis, dass 3 ein Maximumpunkt und 0 kein Extrempunkt sondern ein Sattelpunkt ist. 

Ist das bis hierhin korrekt?

Ich weiß nicht so recht wie ich herausfinde ob es ein globaler oder lokaler Extrempunkt ist. Wenn es nur einen Extrempunkt gibt, ist das doch auch gleichzeitig der globale Extrempunkt oder nicht? 

 

Danke

Answer 1

Mach dir doch als erstes eine kleine Skizze.

Dann hast du schon mal vor Augen was du ausrechnen willst.

Comments

Okay, gute Idee. Also ist 3 mein globaler maximumpunkt und ich habe alles richtig gemacht, Top :)

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f(x) = x^3·e^{-x}

f'(x) = e^{-x}·x^2·(3 - x)

x = 0 ist eine doppelte Nullstelle, d.h. eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Damit haben wir bei x = 0 einen Sattelpunkt.

x = 3 ist eine einfache Nullstelle, d.h. eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und zwar von plus nach minus. Damit haben wir vorher eine positive und nachher eine negative Steigung. D.h. ein Hochpunkt.

Beides kann man auch an der Skizze gut erkennen.