Beweise, dass die Fläche des Dreiecks mit 90° Winkel ihren Maximum erreicht!

Question

Diese Aufgabe ist eine Teilaufgabe des Dido-Problems aus dem Bereich der Optimierung.

Die seiten AP und BP sind konstant. Winkel α ist variabel. 

Angeblich ist die Fläche maximal mit dem winkel 90°. 

Für AB=PB habe ich den Beweis hingekriegt. 

mit der Symmetrie brauch ich ja nur nachzuweisen das einer der rechtwinkligen Dreiecke mit α₁= α/2 = 45° ihren Maximum hat.

h= cos(α₁)*PB

Grundseite = sin(α₁)*PB

Fläche: A=1/2 * sin(α₁)*cos(α1)*PB²

sin(α1)*cos(α1) ableiten und Nullstelle finden....

Aber ich kriegs nicht hin ohne der Annahme, dass der Dreieck gleichschenklig ist. 

Vielleicht kennt jemand das Dido Problem und kann mir bei der Lösung helfen?

Answer 1

Du kannst die Fläche des Dreiecks berechnen aus

A = 1/2 * AP * BP * SIN(α).

Für welchen wert von α nimmt der Sinus den größten Wert an?

Das sind 90 Grad. Damit ist das gezeigt.

Answer 2

Text erkannt:

\( A=\frac{u \cdot h_{c}}{2} \) soll maximal werden.
1. \( ) p^{2}+h_{c}^{2}=4,24^{2} \rightarrow h_{c}^{2}=4,24^{2}-p^{2} \in 2 . \).)
2. \( (u-p)^{2}+h_{c}^{2}=5,83^{2} \)
\( (u-p)^{2}+4,24^{2}-p^{2}=5,83^{2} \)
\( u^{2}-2 u p=16,0113 \rightarrow 2 u p=u^{2}-16,0113 \rightarrow p=\frac{u^{2}-16,0113}{2 u} \rightarrow p^{2}=\frac{\left(u^{2}-16,0113\right)^{2}}{4 u^{2}} \)
\( h_{c}^{2}=4,24^{2}-\frac{\left(u^{2}-16,0113\right)^{2}}{4 u^{2}} \rightarrow h_{c}=\sqrt{4,24^{2}-\frac{\left(u^{2}-16,0113\right)^{2}}{4 u^{2}}} \)
\( A(u)=\left.\frac{u}{2} \sqrt{4,24^{2}-\frac{\left(u^{2}-16,0113\right)^{2}}{4 u^{2}}}\right|^{2} \)
\( A^{2}(u)=\frac{u^{2}}{4}\left(4,24^{2}-\frac{\left(u^{2}-16,0113\right)^{2}}{4 u^{2}}\right)=\frac{4,24^{2}}{4} \cdot u^{2}-\frac{1}{16} \cdot\left(u^{2}-16,0113\right)^{2} \)
\( \frac{d A^{2}(u)}{d u}=4,24^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot u-\frac{1}{8} \cdot\left(u^{2}-16,0113\right) \cdot 2 u \)
\( 4,24^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot u-\frac{1}{8} \cdot\left(u^{2}-16,0113\right) \cdot 2 u=0 \)
\( u \cdot\left(4,24^{2} \cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \cdot\left(u^{2}-16,0113\right)\right)=0 \)
\( u_{1}=0 \)
\( \left(4,24^{2} \cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \cdot\left(u^{2}-16,0113\right)\right)=0 \)
\( u \approx 7,208 \)
\( a^{2}+b^{2}=u^{2} \ldots . \) mfG Moliets