Trifft die Gerade g die Dreiecksfläche mit den Eckpunkten A, B, C?

Question

A (3|5|2)  B (3|11|4)    C (4|6|2)

Die Gerade wird durch P (3|1|0) und Q (6|3|0) festgelegt.

 Die Gerade kann ich selbst aufstellen.

Wie kann man überprüfen, ob die Gerade die Dreiecksfläche mit den Eckpunkten A, B, C trifft?

Answer 1

Kannst du auch eine Ebenengleichung selbst aufstellen? Dan für Schnittpunktbestimmung Geradengleichung und Ebenengleichung gleichsetzen. Dann noch prüfen, ob der Schnittpunkt innerhalb der Dreiecksfläche liegt.

Comments

Ja, die Ebenengleichung kann ich selbst aufstellen.

Wie prüft man ob der Schnittpunkt in der Fläche liegt?

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Berechne erst mal den Schnittpunkt von Gerade und Ebene. Das kannst du (?) Nenne ihn S.

Kannst du das Innere des Dreiecks (Punkte P) parametrisieren

OP = OA + t(AB) + s(AC), wobei t und s € R^{+} und t+s ≤ 1.

Dann S für P einsetzen und schauen, was du für t und s erhältst.

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Ich komme auf S (9|5|0)

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ok. (Ich habe jetzt nicht nachgerechnet)

Weiter.

Berechne nun noch s und t. (vgl. oben)

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EDIT: Habe einen kürzeren Weg entdeckt, der aber nur für diese speziellen Zahlen funktioniert. Vgl. meine Antwort.

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 t+s ≤ 1.

Meinst du damit, dass sowohl t≤1 und s≤1 sein müssen oder beide zusammen?

Letzteres würde ich verstehen. Sollte die Summe gemeint sein, bräuchte ich eine Erklärung :)

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Es muss die Summe ≤ 1 sein.

Separat bist du noch innerhalb des aufgespannten Parallelogramms (=doppelte Dreiecksfläche).

mit t+s = 1 ist genau die Gerade BC parametrisiert.

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Wäre es ein Parallelogramm, dann würde es passen das sowohl t≤1 und s≤1 wären oder?

.......

OP = OA + t(AB) + s(AC), wobei t und s € R⁺ und t+s ≤ 1. 

Diesen Ansatz verstehe ich soweit, auch wie man den Schnittpunkt von der Ebene und der Gerade berechnet.

Dann S für P einsetzen und schauen, was du für t und s erhältst. 

Wenn t+s>1 ist, geht die Gerade am Dreieck vorbei oder?

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Ja. Genau. Auch wenn s oder t negativ sind.

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Kann man ausrechnen wie weit sie vorbei geht oder welchen Abstand sie hat?

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Was kommt denn für s und t heraus wenn man S einsetzt?

Ich komm nicht drauf :/

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Könnte man schon.

Der kürzeste Abstand müsste ja zu einem Punkt auf einer der drei Seiten gehen.

Daher bräuchtest du Fallunterscheidungen.

Auch müsste man Lote fällen und immer noch prüfen, ob man einen Punkt auf einer Dreiecksseite hat.

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Hallo Simon,
unglücklichsterweise kenne ich mich mit räumlicher Geometrie
gar nicht aus.
mfg Georg

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Was kommt denn für s und t heraus wenn man S einsetzt?

Ich komm nicht drauf :/

Wenn's nicht klappt, liegt dein S vermutlich nicht auf der Ebene durch A , B und C.

Hast du meine "Antwort" eigentlich gelesen?

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Ja, aber ich möchte es so lösen wie hier in den Kommentaren erläutert.

Kannst du mal schauen ob mein Gleichungssystem passt?

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Kann man das lesen?

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Schau mal, ob ich das lesen kann.

(1) 9 = 3 + m ==> m= 6

(2) 5 = 1 + 6n + m

4 = 6n + 6

-2 = 6n ==> n= -1/3

(3) 0 = 2n + 0m ==> n=0 widerspricht (2) ==> Punkt links liegt gar nicht in der Ebene, rechts der Gleichung.

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Warum ist dein Stützvektor nicht

(3|5|2) ?

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Das ist ein Fehler. Was käme denn raus für m und n bei A als Stützpunkt?

Answer 2

Das Dreieck liegt vollständig "über" der xy-Ebene, da z überall > 0.

Die Gerade liegt in der xy-Ebene, das z-Koordinate überall 0.

==> Gerade schneidet die Dreiecksebene nicht innerhalb des Dreiecks.