Vektorenrechnung: 4 Ortsvektoren geben Lage zweier Flugzeuge an - Kollidieren diese?

Question

Ein Flugzeug hat bei t0 = 0 die Position (3/5/6) und nach 3 Minuten t = 3 die Position (0/-1/5). Bei einem zweiten Flugzeug wird bei t = 2 die Position (4/2/3) und bei t = 4 die Position (2/-3/4) ermittelt. Kontrollieren Sie, ob die Flugzeuge kollidieren?

Leider habe ich keinen Ansatz und weiß nicht, wie ich anfangen soll. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir ein wenig "unter die Amre greift".

 

Answer 1

g1: [3, 5, 6] + t/3·([0, -1, 5] - [3, 5, 6])
g2: [4, 2, 3] + (t - 2)/2·([2, -3, 4] - [4, 2, 3])

x-Koordinate gleichsetzen

3 + t/3·(0 - 3) = 4 + (t - 2)/2·(2 - 4)
3 - t = 6 - t

Damit stimmen die x-Koordinaten nie überein und die Flugzeuge kollidieren nicht. 

 

Man könnte nach dem kleinsten Abstand fragen

d^2 = (([3, 5, 6] + t/3·([0, -1, 5] - [3, 5, 6])) - ([4, 2, 3] + (t - 2)/2·([2, -3, 4] - [4, 2, 3])))^2
d^2 = 17·t^2/18 - 26·t/3 + 29

d^2' = 17·t/9 - 26/3 = 0
t = 78/17 = 4.588235294

d^2 = 17·(78/17)^2/18 - 26·(78/17)/3 + 29 = 155/17
d = √(155/17) = 3.020 LE

Damit besteht wirklich keine Kollisionsgefahr.

Comments

g1: [3, 5, 6] + t/3·([0, -1, 5] - [3, 5, 6])
g2: [4, 2, 3] + (t - 2)/2·([2, -3, 4] - [4, 2, 3])

 

und wie kommst du auf die Zeilen ?

also wieso nimmst du diese Skalare und nicht die anderen und warum (t-2)/2*...

wäre nett, wenn du mir noch einmal erläutern könntest, wie du dadrauf gekommen bist

 

Wieso schreibst du das markierte jeweils zweimal?

und dann noch eine kleine Frage

ich setze g1 = g2 und rechne es dann aus oder halt um zu gucken, ob die einen gemeinsamen Schnittpunkt haben?

 

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Die Parameterform einer Gerade durch die Punkte A und B lautet

X = A + r * AB

Den Richtungsvektor AB rechnet man ja aus über B - A

X = A + r * AB = A + r * (B - A)

Statt r kann man auch eine andere Variable wie das t benutzen. Wenn nun der Vektor AB in 3 minuten zurückgelegt wird dann muss ich t durch 3 teilen damit ich mit 1 multipliziere wenn ich 3 einsetze.

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macht es beim Richtungsvektor einen Unterschied, ob ich t0 - t3 rechne oder t3 - t0 ?
achso und wie konnte aus  g1: [3, 5, 6] + t/3·([0, -1, 5] - [3, 5, 6])
                                                  g2: [4, 2, 3] + (t - 2)/2·([2, -3, 4] - [4, 2, 3])

                                                  3 + t/3·(0 - 3) = 4 + (t - 2)/2·(2 - 4)
                                                  3 - t = 6 - t

werden?

Vielen Dank schonmal!

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erstmal braucht man nur die x Koordinaten Gleichsetzen. D.h. von den Vektoren nimmst du nur immer den ersten Wert für die x-Koordinate.

Und dann wird das ganze nur vereinfacht.

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lautet das also nur

x= 3 + t3/3 * (-3) ?

von hier komme ich aber nicht auf

3-t = 6-t

vielleicht könntest du mir das noch einmal erläutern!

Vielen Dank nochmal!

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[3, 5, 6] + t/3·([0, -1, 5] - [3, 5, 6]) = [4, 2, 3] + (t - 2)/2·([2, -3, 4] - [4, 2, 3])

Jetzt reduziert man die Vektoren nur auf den ersten Wert

[3] + t/3·([0] - [3]) = [4] + (t - 2)/2·([2] - [4])

Nun vereinfacht man das noch

3 - t = 6 - t

Etwas mehr Nachdenken könntest du aber ruhig.

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Entschuldigung :(

Noch eine letzte Frage:

es ist ja eigentlich t3 also t nach 3 Minuten wir rechnen durch 3 damit wir den Wert nach einer Minute oder eher gesagt von einem T haben oder

und bei

dem 2. ist es (t-2)/2, weil wir vorher t4 - t2 gerechnet hatten das kann man auch als (t-2) schreiben und, um es wieder auf ein t zu bringen teilen wir erneut durch 2

und noch eine letzte Frage du hattest es bereits erläutert jedoch habe ich das nicht ganz verstanden warum wir von t4 - t2 abziehen und nich anders herum


Echt nett von dir, dass du dir die Zeit nimmt. Tut mir leid, dass ich nicht der schnellste bin

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Du kannst die Differenz auch anders bilden. Damit kommst du auf die gleiche Lösung aber wenn es um eine Gradengleichung geht.

g: X = A + r * (B - A)

Setz mal für r = 0 und für r = 1 und schau was passiert. Und wenn du es andersherung schreibst

g: X = A + r * (A - B)

was müsstest du jetzt für r einsetzen damit das von oben heraus kommt?

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Bei Aufgabe 1

3+ t/3 *(-3) -> 3-t

also folglich t = 1

[4] + (t - 2)/2·([2] - [4]) -> 6-t

also folglich t = 4  damit ich

oder?

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Ich komme auf 6 + t ?

also ich habe die Spalte. 4 + (t-2)/2 * (-2) -> 4+ (t+4)/2 = t +6 was habe ich falsch gemacht

den rest habe ich verstanden