Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. f ∈End...

Question

$$Es\quad sei\quad K\quad ein\quad Körper\quad und\quad V\quad ein\quad K-Vektorraum.\quad f∈{ End }_{ K }(V)\quad heisst\quad Projektion,\quad falls\quad gilt\quad f\circ f=f.$$

1:

$$Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad \pi :{ ℝ }^{ 2 }\longrightarrow { ℝ }^{ 2 },(x,y)\longrightarrow \frac { 1 }{ 2 } (x+y,x+y)\quad eine\quad Projektion\quad ist\quad und\quad bestimmen\quad Sie\quad Bild\quad und\quad Kern\quad von\quad \pi .$$

 

2:

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a)

f ist eine Projektion.

b)

id_V - f ist eine Projektion.

c)

Bild(id_V - f) = Kern(f).

d)

Kern(id_V - f) = Bild(f).

Answer 1

das Bild der Abbilung $\pi$ ist die Menge $\{ (x, y) : x = y \}$ und der Kern besteht aus der Menge $\{ (x, y) : x = -y \}$.

$\pi$ ist trivialerweise (definitionsbezogen) eine Projektion, da gilt

$\pi(\pi(x, y)) = \frac{1}{4} (2x + 2y, 2x + 2y) = \pi(x, y)$.

Zu 2.:

Aus a) folgt b) und aus b) folgt a) weil

$(id_V - f) \circ (id_V - f) = id_V^2 - 2 f + f^2 = id_V - 2 f + f = id_V - f$.

Aus a) folgt c) und aus c) folgt a), weil

$f \circ (id_V - f) = f - f^2 = f - f = 0$.

Aus a) folgt d) und aus d) folgt a), weil

$(id_V - f) \circ f = f - f^2 = f - f = 0$.

MfG

Mister

PS: Für die Rückrichtungen kann man unter Umständen auch noch ein bisschen genauer argumentieren. Zum Beispiel folgt aus b) a), weil aus

$(id_V - f) \circ (id_V - f) = id_V^2 - 2 f + f^2 = id_V - 2f + f^2 = id_V - f$

folgt, dass

$0 -f + f^2 = 0 - 0$,

bzw. dass

$f = f^2$

ist, was ja der gegebenen Definitionsgleichung für eine Projektion entspricht (womit die Rückrichtung bewiesen ist).

Comments

Bitte, ich hoffe, du verstehst es auch :)

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Sicher, dass das Bild der Abbildung $\pi$ der ganze $\mathbb R^2$ ist?

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Jo, man kann es gut verstehen :), nur bei der 1 verstehe ich nicht ganz wie man auf das Bild der Abbildung und auf den Kern kommt. Muss man nur umformen was in der Klammer steht?

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Du suchst nach dem Kern durch die Forderung $\pi(x, y) = (0, 0)$. Daraus folgt $x = -y$.

Nach dem Bild suchst du, in dem du gedanklich alle Werte von $x$ und $y$ durchgehst. Das Bild besteht aus der Menge $\{ \frac{1}{2} (x+y, x+y) \}$. Für alle $x$ und $y$ sind im Bild $x$-Koordinate und $y$-Koordinate identisch. Somit muss das Bild aus der Diagonalen $(z, z)$ bestehen, bzw. der Menge $\{ (x, y) : x = y \}$.

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Ach so. OK :),   Jetzt ist es mir klar.