Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. f ∈End...

Question

$$ Es\quad sei\quad K\quad ein\quad Körper\quad und\quad V\quad ein\quad K-Vektorraum.\quad f∈{ End }_{ K }(V)\quad heisst\quad Projektion,\quad falls\quad gilt\quad f\circ f=f. $$

1:

$$ Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad \pi :{ ℝ }^{ 2 }\longrightarrow { ℝ }^{ 2 },(x,y)\longrightarrow \frac { 1 }{ 2 } (x+y,x+y)\quad eine\quad Projektion\quad ist\quad und\quad bestimmen\quad Sie\quad Bild\quad und\quad Kern\quad von\quad \pi . $$

 

2:

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a)

f ist eine Projektion.

b)

id_V - f ist eine Projektion.

c)

Bild(id_V - f) = Kern(f).

d)

Kern(id_V - f) = Bild(f).

Answer 1

das Bild der Abbilung \( \pi \) ist die Menge \( \{ (x, y) : x = y \} \) und der Kern besteht aus der Menge \( \{ (x, y) : x = -y \} \).

\( \pi \) ist trivialerweise (definitionsbezogen) eine Projektion, da gilt

\( \pi(\pi(x, y)) = \frac{1}{4} (2x + 2y, 2x + 2y) = \pi(x, y) \).

Zu 2.:

Aus a) folgt b) und aus b) folgt a) weil

\( (id_V - f) \circ (id_V - f) = id_V^2 - 2 f + f^2 = id_V - 2 f + f = id_V - f \).

Aus a) folgt c) und aus c) folgt a), weil

\( f \circ (id_V - f) = f - f^2 = f - f = 0 \).

Aus a) folgt d) und aus d) folgt a), weil

\( (id_V - f) \circ f = f - f^2 = f - f = 0 \).

MfG

Mister

PS: Für die Rückrichtungen kann man unter Umständen auch noch ein bisschen genauer argumentieren. Zum Beispiel folgt aus b) a), weil aus

\( (id_V - f) \circ (id_V - f) = id_V^2 - 2 f + f^2 = id_V - 2f + f^2 = id_V - f \)

folgt, dass

\( 0 -f + f^2 = 0 - 0 \),

bzw. dass

\( f = f^2 \)

ist, was ja der gegebenen Definitionsgleichung für eine Projektion entspricht (womit die Rückrichtung bewiesen ist).

Comments

Bitte, ich hoffe, du verstehst es auch :)

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Sicher, dass das Bild der Abbildung \(\pi\) der ganze \(\mathbb R^2\) ist?

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Jo, man kann es gut verstehen :), nur bei der 1 verstehe ich nicht ganz wie man auf das Bild der Abbildung und auf den Kern kommt. Muss man nur umformen was in der Klammer steht?

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Du suchst nach dem Kern durch die Forderung \( \pi(x, y) = (0, 0) \). Daraus folgt \( x = -y \).

Nach dem Bild suchst du, in dem du gedanklich alle Werte von \( x \) und \( y \) durchgehst. Das Bild besteht aus der Menge \( \{ \frac{1}{2} (x+y, x+y) \} \). Für alle \( x \) und \( y \) sind im Bild \( x \)-Koordinate und \( y \)-Koordinate identisch. Somit muss das Bild aus der Diagonalen \( (z, z) \) bestehen, bzw. der Menge \( \{ (x, y) : x = y \} \).

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Ach so. OK :),   Jetzt ist es mir klar.