Reihe konvergenz untersuchen mit majo und mino

Question

Wie ist es mit der reihe ∑(5/n)ⁿ

 

Soll ich eine folge selbst angben? İch bin echt ratlos... Wie soll man das abschatzen?

mit der geometrischen reihe? İch meine eher mit der harmonischen oder???

 

danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Es gibt sicher verschiedene Möglichkeiten eine Reihe abzuschätzen. Hier bietet sich tatsächlich die geometrische Reihe an. Offensichtlich gilt \(0<\frac5n\leq\frac12\) für alle \(n\geq10\). Daraus folgt \(0<\left(\frac5n\right)^n\leq\left(\frac12\right)^n\). Daher ist die bekanntlich konvergente Reihe \(\sum_{n=10}^{\infty}\left(\frac12\right)^n\) Majorante der Reihe \(\sum_{n=10}^{\infty}\left(\frac5n\right)^n\). Also konvergiert die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac5n\right)^n\).

Comments

Wie kommst du denn auf 1/2???

Das pronzip versteh ich zwar. Aber wie findet man denn eine Reihe? Ich meine soll man eins im kopf erfinden?

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Du kannst dir eine geeignete Reihe aussuchen. Du kannst auch  1/2  durch  2/3  ersetzen. Dann gilt die Ungleichung schon für  n ≥ 8, was aber für das Konvergenzverhalten unerheblich ist.