Hallo :-)
Du kannst bei der ersten Reihe deinen Ausdruck \(\frac{1}{\sqrt{k^3-1}}\) für alle \(k\in \N_{\geq 2}\) folgendermaßen nachoben abschätzen:
$$ \frac{1}{\sqrt{k^3-1}}\ \leq \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}k^3}}=\frac{2}{k^{\frac{3}{2}}}$$
Was kannst du damit über die erste Reihe aussagen?
Bei der zweiten Reihe kannst du das Wurzelkriterium anwenden. Dort kommt 1 heraus, sodass damit keine Aussage über die Konvergenz über diese Reihe getroffen werden kann.
Man kann aber die Folge der Summanden aus der zweiten Reihe folgendermaßen nach unten abschätzen:
$$ \frac{k^k}{(k+1)^{k+1}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^k\cdot \frac{1}{k+1}\\[10pt]=\left(\frac{1}{\frac{k+1}{k}}\right)^k\cdot \frac{1}{k+1}\\[10pt]=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}\cdot \frac{1}{k+1}\\[10pt]\stackrel{(*)}{\geq } \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{k+1}$$
(*) Die Folge \(\left(\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right)_{k\in \N_{\geq 1}}\) ist durch 3 nachoben beschränkt.
Welche dir bekannte divergente Reihe käme dir nun jetzt in den Sinn?
