Steckbriefaufgabe: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat bei x_n = 4 eine doppelte Nullstelle …

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat bei x_n = 4 eine doppelte Nullstelle und bei x_w = 8/3 ihre Wendestelle. Die Tangente im Wendepunkt des Graphen hat die Steigung -4/3.

Answer 1

Eine ganz rationale Funktion 3. Grades

\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

hat bei x_n = 4 eine doppelte Nullstelle

\(f(x_n) = 0\)

\(f'(x_n) = 0\)

bei x_w = 8/3 ihre Wendestelle

\(f''(x_w) = 0\)

Die Tangente im Wendepunkt des Graphen hat die Steigung-4/3

\(f'(x_w) = -\frac{4}{3}\)

Answer 2

Ansatz \( f(x) =ax^3+bx^2+cx+d \)

Doppelte Nullstelle heißt \( f(x) =0 \) und \( f'(x) =0 \).

Wendestelle heißt \( f''(x) =0 \).

Tangentensteigung heißt \( f'(x) =m \).

Setze die passenden Werte ein, stelle das LGS auf und löse es bspw. mit Gauß.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

1) Die Gesuchte ist ein Polynom 3-ten Grades mit einer doppelten Nullstelle bei \(x_n=4\):$$\blue{f(x)=(ax+b)\cdot(x-4)^2}$$

2) Die Tangente bei \(x_w=\frac83\) hat die Steigung \((-\frac43)\).

Wir formen den Funktionsterm so um, dass wir ihn einfacher ableiten können:$$f(x)=ax(x-4)^2+b(x-4)^2=a(x^3-8x^2+16x)+b(x^2-8x+16)\implies$$$$f'(x)=a(3x^2-16x+16)+b(2x-8)$$An der Stelle \(x_w=\frac83\) muss die Ableitung gleich \((-\frac43)\) sein:

$$-\frac43\stackrel!=f'\left(\frac83\right)=-\frac{16}{3}a-\frac83b\quad\stackrel{\cdot(-\frac34)}{\implies}\quad1=4a+2b\quad\implies\quad\blue{2b=1-4a}$$

3) Bei \(x_w=\frac83\) liegt eine Wendestelle, also muss die zweite Ableitung dort verschwinden:$$f''(x)=a(6x-16)+\blue{2b}=a(6x-16)+\blue{1-4a}=6ax-20a+1$$$$0\stackrel!=f''\left(\frac83\right)=16a-20a+1=-4a+1\quad\implies\quad\blue{a=\frac14}$$

Damit ist \(\blue{a=\frac14}\) und \(\blue{b=0}\) und die Gesuchte sieht so aus:$$f(x)=\frac14x\cdot(x-4)^2=\frac14x^3-2x^2+4x$$

~plot~ 1/4*x*(x-4)^2 ; {4|0} ; {8/3|32/27} ; -4/3*x+4,74 ; [[-1|6|-1|4]] ~plot~

Answer 4

Ich empfehle zur Hilfe und Selbstkontrolle https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(4) = 0
f'(4) = 0
f'(8/3) = -4/3
f''(8/3) = 0

Gleichungssystem

64·a + 16·b + 4·c + d = 0
48·a + 8·b + c = 0
64/3·a + 16/3·b + c = -4/3
16·a + 2·b = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 0,25·x^3 - 2·x^2 + 4·x

Answer 5

Eine ganz rationale Funktion 3. Grades hat bei \(x_N = 4\) eine doppelte Nullstelle und bei \(x_W = \frac{8}{3}\) ihre Wendestelle. Die Tangente im Wendepunkt des Graphen hat die Steigung m=\(-\frac{4}{3}\)

Weg über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

\(f(x)=a(x-N_1)(x-N_2)(x-N_3)\)

bei \(x_N = 4\) eine doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x-4)(x-4)(x-N_3)=a[(x-4)^2(x-N_3)]\)

Tangentensteigung im Wendepunkt   m=\(-\frac{4}{3}\)

\(f'(x)=a[(2x-8)(x-N_3)+(x-4)^2 ]\)

\(f'(\frac{8}{3})=a[(-\frac{8}{3})(\frac{8}{3}-N_3)+\frac{16}{9}]=-\frac{4}{3} \)

\(a[(-\frac{64}{9})+\frac{8}{3}N_3+\frac{16}{9}]=-\frac{4}{3} \)

\(a[(-\frac{48}{9})+\frac{8}{3}N_3]=-\frac{4}{3} \)

\(a[(-\frac{12}{9})+\frac{2}{3}N_3]=-\frac{1}{3} \)

\(a[(-\frac{4}{3})+\frac{2}{3}N_3]=-\frac{1}{3} \)

\(a[(-4+2N_3]=-1 \)

\(a[(4-2N_3]=1 \)  → \(a=\frac{1}{4-2N_3} \)

\(f'(x)=\frac{1}{4-2N_3}[(2x-8)(x-N_3)+(x-4)^2 ]\)

\(f''(x)=\frac{1}{4-2N_3}[(2x-2N_3)+(2x-8)+(2x-8) ]\)

\(f''(\frac{8}{3})=\frac{1}{4-2N_3}[(2\cdot\frac{8}{3}-2N_3)+(4\cdot\frac{8}{3}-16)]\)

\(\frac{1}{4-2N_3}[(2\cdot\frac{8}{3}-2N_3)+(4\cdot\frac{8}{3}-16)]=0\)

\(N_3=0\)

\(a=\frac{1}{4} \)

\(f(x)=\frac{1}{4}x(x-4)^2\)