Hallo,
Willkommen in der Mathlounge!
Eine Funktion kann nicht gleichzeitig an der Stelle \(P(1|\, 2)\) ein lokales Extrema und einen Wendepunkt haben! Sie kann aber eine Steigung von 0 im Wendepunkt haben. Ich gehe davon aus, dass dies hier gemeint ist.
Die allgemeine Gleichung für eine ganzrationale Funktion dritten Grades nebst ihrer Ableitungen ist$$f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d\\ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \\ f''(x) = 6ax + 2b $$Die Funktion hat bei \(x=0\) eine Nullstelle; folglich ist$$f(0) = 0 = d \implies d = 0$$und sie geht durch den Punkt \(P(1|\,2)\), das heißt$$f(1) = a + b + c + d = 2$$Für \(x=1\) müssen die erste (Steigung =0) und die zweite Ableitung (Wendestelle) gleich 0 sein. Daraus folgt$$f'(1) = 0 = 3a + 2b + c \\ f''(1) = 0 = 6a + 2b$$Mit \(d=0\) (s.o.) bleiben noch drei Gleichungen mit den drei Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\).
Falls Du nicht weißt, wie man das löst, so melde Dich bitte. Es ist $$a = 2, \quad b=-6, \quad c=6$$und die Funktion sieht so aus:
~plot~ 2x^3-6x^2+6x ~plot~
Gruß Werner
