Konvergenz und Divergenz von Reihen. Was kann ich als Majo-Minorante betrachten?

Question

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \) divergiert, denn \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) ≥ \( \frac{1}{n} \)

und wir wissen, dass \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} \) eine divergente Minorante von \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \) ist. Daher wissen wir halt, dass \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \) divergiert.

Was ich aber nicht verstehe, ist folgendes:

Nur weil ich gezeigt habe, dass \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \) eine divergente Minorante hat, kann ich einfach behaupten, dass es divergent ist?

Es gibt doch auch kleinere Reihen als \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \), welche konvergent sind. Wie zB.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \)

Answer 1

1/n^2 ist ja auch kleiner als 1/n . Da ist also die Reihe mit 1/n eine Majorante,

Und divergente Majorante sagt nichts aus.

Richtig ist:

divergente Minorate ==>   andere Reihe auch divergent

konvergente Majorante ==>  andere Reihe konvergent.

Answer 2

Du hast einen kleinen Denkfehler. Deine Reihe mit n^2 ist natürlich kleiner und diese konvergiert aber das Majorantenkriterium sagt ja gerade, dass eine Reihe konvergent ist, wenn du ein Reihe findest, die größer ist und konvergiert. Aber hier ist n^2 kleiner also einfach deine Bedingung nicht erfüllt und damit auch das Majorantenkriterium nicht anwendbar. Schlussendlich ist natürlich dein Divergenzbeweis mit der harmonischen Reihe korrekt.