Die Endgeschwindigkeit einer Rakete sei gegeben durch \( \mathrm{v}_{\mathrm{E}}=-\left|\mathrm{v}_{\mathrm{g}}\right| \cdot \ln \left(\mathrm{m}_{\mathrm{E}} / \mathrm{m}_{0}\right) \).
Hierbei sei \( \mathrm{m}_{\mathrm{E}} / \mathrm{m}_{0} \) das Verhältnis von Endgewicht zu Startgewicht der Rakete (Endgewicht nach Verbrennung des kompletten Treibstoffs) und \( \left|\mathrm{v}_{\mathrm{g}}\right| \) die Austrittsgeschwindigkeit des Treibstoffs relativ zur Rakete.
a) Wie groß muss das Verhältnis zwischen End- und Startgewicht sein, für das Erreichen einer Endgeschwindigkeit von \( \mathrm{v}_{\mathrm{E}}=8 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \) bei einer Rakete:
i. mit Feststoffantrieb und \( \left|\mathrm{v}_{\mathrm{g}}\right|=3,5 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
ii. mit \( \mathrm{O}_{2}-\mathrm{H}_{2} \) Flüssigtreibstoff: \( \left|\mathrm{v}_{\mathrm{g}}\right|=4,2 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
iii. mit Ionenantrieb: \( \left|\mathrm{v}_{\mathrm{g}}\right|=20 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
Welche der drei Antriebsarten halten Sie für den Start einer Rakete von der Erdoberfläche für realistisch?
b) Betrachten Sie nun eine zweistufige Rakete bei der beide Stufen einen Feststoffantrieb benutzen. Aus technischen Gründen soll das Masseverhältnis \( m_{e}^{S 1} / m_{0}^{S 1} \) der ersten Stufe auf \( 1 / 6 \) beschränkt sein. Wie groß muss das Masseverhältnis \( m_{e}^{S 2} / m_{0}^{s 2} \) der zweiten Stufe sein, damit die Nutzlast der 2. Stufe eine Endgeschwindigkeit von \( \mathrm{v}_{\mathrm{E}}=9 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \) erreicht? [Bemerkung: bei einer zweistufigen Rakete ergibt sich die Endgeschwindigkeit aus der Summe der Endgeschwindigkeiten der einzelnen Stufen.]
Ansätze:
zu a)
\mathrm{\{} R a k e t e ~ f l i e g t ~ m i t ~ I m p u l s ~ ( p ) ~ n a c h ~ o b e n ~
\( V_{E}=-\left|V_{s}\right| \ln \left(\frac{m_{E}}{m_{0}}\right) \)
\( V_{E}=8 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
I. \( \left|V_{s}\right|=3,5 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
2. \( \left|V_{s}\right|=4,2 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
3. \( \left|V_{s}\right|=20 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
\( v(t)=\left|V_{\hbar}\right|^{\$} \ln \left(\frac{m_{0}}{m_{E}}\right) \)
\( v(t)=-\left|V_{s}\right|^{*} \ln \left(I-\frac{t}{\tau}\right) \) | \( \left\{\frac{t}{\tau}\right. \) :Anteil der verbrannten Masse]
\( v_{E}=\left|V_{s}\right|^{*} \ln \left(\frac{m_{0}}{m_{f}}\right) \)
ges: \( \left(\frac{m_{\Sigma}}{m_{0}}\right) \)
Lös:
\( v_{E}=\left|V_{s}\right|^{*} \ln \left(\frac{m_{0}}{m_{n}}\right) \)
\( \left(\frac{m_{0}}{m_{E}}\right)=\frac{v_{E}}{\left|V_{g}\right|}^{*} l n \)
\( \left(\frac{m_{0}}{m_{E}}\right)=\frac{8 k m / s}{3,5 k m / s} * l n=1,889 \rightarrow \frac{1}{1,889} \)
\( \left(\frac{m_{0}}{m_{E}}\right)=\frac{8 \mathrm{~km} / \mathrm{s}}{4,2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}} * I n=1,227 \rightarrow \frac{1}{l, 227} \)
\( \left(\frac{m_{0}}{m_{E}}\right)=\frac{8 \mathrm{~km} / \mathrm{s}}{20 \mathrm{~km} / \mathrm{s}} \% n=-0,366 \rightarrow \frac{I}{{ }_{-0,366}} \)
Antriebsarten \( I \) und 2 sind auf der Erdoberfläche realistisch. Antriebsart 2 wäre umweltfreundlicher da Wasserstoff und Sauerstoff in der Brennkammer zu harmlosen Wasserdampf reagieren. Antriebsart 3 ist nicht möglich, weil man mit einem lonenantrieb nicht von der Endoberfläche abheben kamn (Vakuum).
zu b)
\( \left(\frac{m_{e}^{s_{l}}}{m_{0}^{S_{\prime}}}\right)=\frac{1}{6} \)
\( v_{E}=9 \mathrm{~km} / \mathrm{s} \)
\( v_{E}=\left(\frac{m_{e}^{s_{i}}}{m_{0}^{S_{\prime}}}\right)+\left(\frac{m_{e}^{s_{2}}}{m_{0}^{S_{2}}}\right) \)
ges: \( \left(\frac{m_{e}^{S_{2}}}{m_{0}^{S_{2}}}\right)=? \)
Lösung:
\( v_{E}=\left(\frac{m_{e}^{s_{i}}}{m_{0}^{S_{l}}}\right)+\left(\frac{m_{e}^{s_{2}}}{m_{0}^{S_{2}}}\right) \)
\( v_{E}=\left(\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{m_{e}^{S_{2}}}{m_{0}^{S_{2}}}\right) \mid * v_{E} \)
\( \left(\frac{m_{e}^{S_{2}}}{m_{0}^{S_{2}}}\right)=\left(\frac{1}{6}\right) * 9 \mathrm{~km} / \mathrm{s}=1,5 \)
\( \left(\frac{m_{e}^{s_{2}}}{m_{0}{ }^{S_{2}}}\right)=\frac{3}{2} \)
