Es sei K ein Körper mit endlich vielen Elementen.

Question

1.Aufgabe:

Zeige, dass \( K \) ein Vektorraum über dem Körper \( \mathbb{F}_{p}:=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \) für geeignetes \( p \) ist (Hinweis: man benutze den Homomorphiesatz für Ringe).

2.Aufgabe:

Zeige, dass \( K \) eine endliche Basis als \( \mathbb{F}_{p} \) -Vektorraum besitzt.

3.Aufgabe:

Bestimme die Anzahl der Elemente in \( K \) in Abhängigkeit von seiner Dimension als \( \mathbb{F}_{p} \) -Vektorraum.

Comments

Ich komm auch nicht damit klar, denn es wurde vergessen anzugeben was k hier eigentlich ist. Leider ist meine Glaskugel grade außerhäusig beim Polieren.

Answer 1

Der Ringhom. $$\mathbb Z \to K ,\quad n\mapsto n \cdot 1$$ ist nicht injektiv, da K endlich und der Kern ist ein Primideal, da Z/Kern isomorph zu einem Unterring P von K. Daher Kern=(p) für eine Primzahl p. K ist ein Vektorraum über P mit der Addition in K und der Multiplikation in K, eingeschränkt auf Skalare aus P, als Skalarmultiplikation. Eine Basis kann nicht größer sein als der Vektorraum und jeder VR hat eine Basis. Sei also K n-dimensional. Damit K als VR über F_p isomorph zu \( (\mathbb Z/p\mathbb Z)^n \) und die Menge hat p^n Elemente.