Es sei F=(0,1,2) der Körper mit 3 Elementen. Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ F4 mit Ax=b.

Question

Es sei F₃=(0,1,2) der Körper mit 3 Elementen. Bestimmen Sie die Menge aller x∈F₃⁴ mit Ax=b, wobei A∈F₃^4x4 und b∈F₃⁴ die folgenden sind:

$$A:=\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix}$$

$$b:=\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}$$

Answer 1

es gilt, das lineare Gleichungssystem

(1) a + b + c + 2d = 0,

(2) 2a + b + c = 1,

(3) a + 2b = 1,

(4) 2c = 1,

zu lösen. Aus Gleichung (4) folgert man direkt c = 2. Übrig bleibt das Gleichungssystem

(1') a + b + 2d = 1,

(2') 2a + b = 2,

(3') a + 2b = 1.

Da (3') = 2 * (2') ist sind Gleichung (3') und (2') linear abhängig und eine der beiden kann gestrichen werden, zum Beispiel Gleichung (3'):

(1'') a + b + 2d = 1,

(2'') 2a + b = 2,

Aus (1) + (2) kann man d = -b, bzw. d = 2b folgern und es bleibt übrig:

(1''') a + 2b = 1,

(2''') 2a + b = 2.

Diese Gleichungen sind wieder linear abhängig, denn (2''') = 2 * (1'''). Daher bleibt die Gleichung

(1'''') a + 2b = 1

übrig. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ergibt sich daher aus

$$ \{ (a, b, 2, 2b) \in \mathbb{F}_3^4 : a + 2b = 1 \} = \{ (0, 2, 2, 1), (1, 0, 2, 0), (2, 1, 2, 2) \} .$$

MfG

Mister

Comments

vielen Dank für die Lösung, mir ist jedoch noch etwas unklar wie man aus (4) 2c = 1 auf c = 2 schließt. Gibt es da einen Trick oder muss ich den Modulo aus 1/2 berechnen? Falls es der Modulo aus 1/2 ist, wäre ich über eine kurze Erklärung wie das gemacht wird sehr dankbar.

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Ach, hat sich erledigt, 2c=1 mit 2 multiplizieren und man kommt auf 1c=2.

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Genau, in \( \mathbb{F}_3 \) hat 2 das multiplikativ Inverse \( 2^{-1} = 2 \). Da \( \mathbb{F}_3 \) ein Körper ist, könnte man auch die Schreibweise \( 2^{-1} = \frac{1}{2} = 2\) verwenden.

Ein anderer Repräsentant dieser Restklasse [2] ist übrigens -1. Dann steht da \( - c = 1 \Rightarrow c = -1 = 2 \).

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1.) Im Vierten Schritt heißt es:

"Aus (1) + (2) kann man d = -b, bzw. d = 2b folgern und es bleibt übrig:

(1''') a + 2b = 1,

(2''') 2a + b = 2."

Ich komme jedoch aus (1) + (2) auf

0a + 2b + 0c + 2d = 0,

Daraus ließe sich nur d = -b schließen, nicht jedoch d = 2b, wie kommt man auf d = 2b?

2.) Auf Gleichung (1''') kommt man durch einsetzen von d = -b in (1'') und anschließender Multiplikation der Gleichung mit 2? Kommt man auf solche Ideen in dem man versucht möglichst viele Linear abhängige Gleichungen zu schaffen? Warum sollte man dies wollen?

3.) Bisher habe ich als Darstellungsweise für Lösungsmengen die folgende Form gelernt:

x = (a, b, c) + s * (e, f, g) + t * (h, i, j)

Lässt sich die Lösungsmenge dieser Aufgabe auch in diese Form schreiben? Und was für eine Bedeutung hat die andere Schreibweise?


Ich würde mich wirklich freuen diese Fragen beantwortet zu bekommen.

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Ich greife hier mal bei 1) vor.

-1 ist doch in diese Körper dasselbe wie 2.

Daher - b = 2b.

Vielleicht erübrigt sich dann 2 und 3?

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Oh, stimmt ja. 2 und 3 haben sich dadurch fast komlett erledigt, das einzige was ich noch nicht so genau verstehe ist wie man auf die Menge {(0,2,2,1),(1,0,2,0),(2,1,2,2)} kommt.

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zu deiner Frage 1.) Im Körper \( \mathbb{F}_3 \) gilt -1 = 2. Das heißt d = -b = 2b. Der Grund ist derselbe, warum man von 2c = 1 auf c = 2 schließt. Du kannst auch zu deiner Gleichung 0a + 2b + 0c + 2d = 0 die Variable d addieren und erhältst ganz natürlich 2b = d.

2.) Warum sollte man wohl möglichst viele linear abhängige Gleichungen wollen?

3.) Man kann mittels der Bedingung a + 2b = 1 die Lösungsmenge auch weiter vereinfachen zu \( \{ (a, a + 2, 2, 2a + 1) \in \mathbb{F}_3^4 \} \). Diese Darstellung hat dann die gewünschte Form. Da a in \( \mathbb{F}_3 \) nur 3 Werte annehmen kann, nämlich 0, 1 und 2, findet man auch nur 3 entsprechende Vektoren dieser Form.

MfG

Mister