Ei gude wie? Ich mag das nicht; ich hab so einen fatalen Hang nach primitiven Polynomen.
f ( x , y ) := 3 y 3 + 40 x y + 4 x 2 y - 80 x - 8 x 2 ( 1 )
f_x ( x , y ) = 8 ( 5 y + x y - 10 - 2 x ) = 0 ( 2a )
y ( x + 5 ) - 2 ( x + 5 ) = 0 ( 2b )
( x + 5 ) ( y - 2 ) = 0 ===> x1 = ( - 5 ) ; y2 = 2 ( 2c )
f_y ( x , y ) = 9 y ² + 40 x + 4 x ² = 0 ( 3a )
Das sieht ja ganz nach einer ===> Ellipse aus; ihr habt natürlich eure quadratische Ergänzung ( QE ) gelernt. Ich ergänze für x
4 ( x + 5 ) ² + 9 y ² = 100 | : 100 ( 3b )
[ ( x + 5 ) / 5 ] ² + [ y : ( 10/3 ) ] ² = 1 ( 3c )
Die Normalform der Ellipse lautet entsprewchend ( 3c )
[ ( x - x0 ) / a ] ² + [ ( y - y0 ) / b ] ² = 1 ( 3d )
D.h. in ( 3c ) hast du eine Ellipse mit Mittelpunkt ( - 5 | 0 ) so wie großer Halbachse a = 5 und kleiner Halbachse b = 10/3 Diese anschauliche geometrische Vorstellung ermöglicht uns, das Problem zu lösen. Die Vertikale x1 in ( 2c ) ist identisch mit der kleinen Halbachse, wenn du dich entsinnst, wo sich der Mittelpunkt befindet; das gibt die Punkte P2;3 bei Unknown.
Theoretisch könntest du die Schnittpunktsbedingung in der Form ( 3b ) ausnutzen ( quadratische Gleichung ( QG ) mit QE ; nur noch die Wurzel brauchtest du ziehen. ) Sag mal; ist es eigentlich Zufall, dass da etwas Ganzzahliges heraus kommt? Damit du mal was Neues lernst; gehen wir aus von der Original QG ( 3a )
x ² + 10 x + 9 = 0 ( 4a )
Du wirst die überraschende Feststellung machen, dass der Versuch, sich etwas Anschauliches, eben die Ellipse vorzustellen, die Algebra Jahrhunderte lang in die Irre geleitet hat. Schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der " Satz von der rationalen Nullstelle " ( SRN )
Hast du dich von deinem ersten Schreck erholt?
WARUM ist Wurzel 2 irrational?
Nein; von Gauß ist der SRN nicht - Wiki ist geduldig.
Im ===> v.d. Waerden steht er nicht - behauptet nicht mal Wiki.
Seine Entdeckung liegt noch keine fünf Jahre zurück - das Werk eines anonymen Bastlers auf irgendeinem Interbetportal - was weiß ich.
Mein Gewährsmann ist User " Ribek " auf " Cosmiq "
Unmittelbar, nachdem mir der SRN bekannt wurde, stellte ich einen Lehrsatz der elementaren Algebra auf:
SATZ 1 ( Zerlegungssatz )
==============
Sei g € |Z [ x ] ein zerfallendes primitives quadratisches Polynom.
g := a2 x ² + a1 x + a0 ( 4b )
Seine Wurzeln mögen wie üblich in gekürzter Form vorliegen.
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 4c )
Dann gelten die beiden pq Identitäten
p1 p2 = a0 ( 4d )
q1 q2 = a2 ( 4e )
===================================
Dieser Zerlegungssatz versetzt jener These den Todesstoß, der SRN könne von Gauß stammen.
Das Genie Gauß, der Entdecker des SRN , sollte zu doof gewesen sein, die Bedeutung hinter ( 4de ) zu erkennen? Und in den letzten 200 Jahren sollte niemand vor mir diese Idee gehabt haben? Grotesk.
Du hast verstanden: In ( 4a ) musst du das Absolutglied 9 zerlegen; da gäbe es die triviale Zerlegung 9 = 1 * 9 so wie die nicht triviale 9 = 3 * 3 . Halt Stop; die zweite Möglichkeit entfällt, weil x1;2 TEILER FREMD sind. Woher weiß ich jetzt das schon wieder ? Machen wir erst mal fertig.
Das Vorzeichen ist auch nicht eindeutig - Minus Mal Minus gibt auch Plus. Hier kommt uns die cartesische Vorzeichenregel zu Hilfe; " zwei Mal Minus "
x1 < = x2 < 0 ( 5a )
x1 = ( - 9 ) ; x2 = ( - 1 ) ( 5b )
Ist das schon ein voll gültiger Beweis? Nein; woher willst du wissen, dass ( 4a ) zerfällt? Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von ( 4a )
g ( x ) := x ² - p x + q = 0 ( 5c )
p = x1 + x2 ( 5d )
In unserem Fall ist äquivalent zu Vieta übrigens die LMNTAr geometrische Erkenntnis, dass die beiden Schnittpunkte x1;2 symmetrisch zur kleinen Halbachse bei x0 = ( - 5 ) fallen; von Daher wäre gar nichts weiter zu zeigen.
Wie war das jetzt mit dem ggt? Sei m ein Teiler; dann hast du in ( 5c ) die Beziehung
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 6a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 6a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms g in ( 5c ) heißen; K wie Koeffizient. Die Behauptung
ggt x1;2 = gkt ( g ) ( 6b )
Und abermals. Gauß der Teilerfürst, der Teilbarkeitseigenschaften entdeckt hat, die unsereins nicht mal versteht. Gauß, der Entdecker des SRN , sollte sich nie gefragt haben, was der ggt der Wurzeln eines Polynoms ist? Genau so klingen Fälschungen. Nur: Diejenigen Fälscher, die sich erdreisten, die Entdeckung des SRN Gauß in die Schuhe zu schieben. Die sehen nicht, dass der SRN einen Rattenschwanz von Folgewirkungen hat so wie hier. Deshalb auch gibt sich ja Wiki so seltsam einsilbig.
Die Hessematrix mach ich jetzt nur aus dem Grunde, um auszuschließen, dass sie singulär wird. Aus ( 2c )
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