Extrempunkte bei Funktionen berechnen: f(x) = ax^3+x^2− (1/a)x

Question

Berechnen Sie für die Funktion f(x) = ax^3+x^2− (1/a)x
x die Lage xi der Nullstellen, Minima, Maxima und Wendepunkte
in Abhängigkeit von a ∈ R \ {0}.

Bitte genauer Rechenweg -

Answer 1

Zu den Nullstellen:

$$ax^3 + x^2 - \frac{1}{a}x = 0 \Leftrightarrow x(ax^2 - x - \frac{1}{a}) = 0$$

Damit ist x1 = 0.

$$\Leftrightarrow ax^2 - x - \frac{1}{a} = 0 \Leftrightarrow x^2 - \frac{1}{a} x - \frac{1}{a^2} = 0$$

pq-Formel liefert

$$x_{2,3} = \frac{1}{2a} +- \frac{ \sqrt{5} }{ 2|a| }$$

Naja und der Rest ist eigentlich fast dasselbe, nur dass man vorher ableiten muss. Dafür bin ich jetzt aber zu müde.