Produktintegration mal schon, mal nicht

Question

Ich verstehe etwas bei der Produktintegration nicht so ganz.
Die Stammfunktion von sinx ist -cosx.

Die Stammfunktion von lnx ist:

lnx*1 = x*lnx - x*(1/x) = x*lnx - x + C = x*(lnx - 1) + C


1. Warum wird lnx durch 1 ergänzt und sinx nicht?

2. Bei der Berechnung von lnx folgt ja x*lnx-x*(1/x). Wäre das dann nicht gleich x*lnx-1, weil nach dem Minus ein Bruch von x/x steht?

Comments

Hallo squabblo,
je mehr du dich mit Diff- und Integralrechnung beschäftigst desto
geläufiger werden dir bestimmte Ableitung oder Stammfunktionen.

Gern führe ich dir die Bildung der Stammfunktion von ln ( x ) einmal vor.
Kennst du schon die partielle Integration ?

Bei Bedarf wieder melden.

mfg Georg

Answer 1

1. Warum wird lnx durch 1 ergänzt und sinx nicht?

Mit welcher Begründung sollte denn auch das Integral von sin x "durch 1 ergänzt"  werden? sin ( x ) ist  doch ein völlig andere Funktion als ln ( x )

Auch wenn das Integral einer bestimmten Funktion eine zusätzliche -1 enthält, so muss das doch nicht auch für alle anderen Integrale gelten. Auch das Integral von x wird nicht "durch 1 ergänzt".

Für das Integral von sin x gilt:

∫ 1 * sin x dx = 1 * ( - cos x ) - ∫ 0 * ( - cos x ) dx = - cos x 

 

2. Bei der Berechnung von lnx folgt ja x*lnx-x*(1/x). Wäre das dann nicht gleich x*lnx-1, weil nach dem Minus ein Bruch von x/x steht?

Nein, es ist:

∫ 1 * ln ( x ) dx = x * ln ( x ) - ∫ x * (1 / x ) dx

Das rot markierte Integral kann dann allerdings tatsächlich als  ∫ 1 dx  geschrieben werden, also:

= x * ln ( x ) - ∫ 1 dx

Comments

Zu 1): Ich habe auh nicht behauptt, dass ich es beweisen kann. Es erschien bloß unlogisch und verunsichert auch etwas, wenn es solche Ausnahmen gibt.

Zu 2): Die Stammfunktion kann ja als x * (lnx - 1) + C angeschrirben werden. Wo ist da das Summenzeichen hin und warum wurde hier aus dem Bruch (x/x) x und nicht 1 (bzw. ∫1 wie du sagtet)?

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Zu 1) ln ( x ) bzw. sin ( x ) sind keine Ausnahmen, denn Ausnahmen setzen eine Regel voraus. Es gibt jedoch keine Regel, die besagt, wann ein Integral "durch 1 zu ergänzen" ist und wann nicht. Ohne Regel aber gibt es auch keine Ausnahmen.
Es hängt allein von der zu integrierenden Funktion ab, wie das Integral aussieht. Manche Integrale enthalten eine 1, manche nicht und manche enthalten noch ganz andere Terme.

zu 2)

Wo ist da das Summenzeichen hin

Das Integralzeichen ordnet an: Bilde das Integral. Hat man das getan, ist das Integralzeichen hinfällig.

warum wurde hier aus dem Bruch (x/x) x und nicht 1

Aus ∫ x * (1 / x ) dx wird ∫ 1 dx und daraus wird x , also:

∫ x * (1 / x ) dx = ∫ 1 dx = x + C

 

Ich bin nicht ganz sicher, ob ich deine Fragen so verstanden habe, wie du sie gemeint hast ...

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Zu 1:

Regel sofern, als das ich dachte, beim Integrieren könnte ich nur aufleiten (= kannst ableiten, kannst aufleiten). Aber anscheinend ist das wirklich eine Kunst. :)

Zu 2:

Genau so meinte ich das, wir verstehen uns hier.  Und wenn das x aufleite, fällt das Integralzeichen weg und 1 wird x.


@georg: Sehr geil, danke. Werde das versuchen im Hinterkopf zu behalten!

Answer 2

Wie du das aufschreibst ist das leider überhaupt nicht korrekt. Du solltest schon Integralzeichen benutzen. So würde das richtig aussehen:

∫ 1·LN(x) dx = x·LN(x) - ∫ x·1/x dx = x·LN(x) - ∫ 1 dx = x·LN(x) - x = x·(LN(x) - 1)

SIN(x) ist halt ein Grundintegral. Da braucht man das nicht.

Comments

Ich habe den Post mit einem iPod geschrieben und wusste auf die Schnelle nicht, woher ich das Integral nehmen sollte. Nichts für ungut.


Woher soll ich aber wissen, was ein Grundintegral ist und was nicht?

Answer 3

Da ich noch etwas Zeit bis zum Mittagessen habe hier doch
schon einmal die Stammfunktionbildung nach dem Herantastprinzip
aufgezeigt.

Wir wollen bilden
∫ ln( x ) dx = term
umgekehrt gilt für die Ableitung
( term ) ´ = ln ( x )
Probieren wir einmal die Ableitung von
[ ln ( x ) ] ´ = 1 /x
Das war noch nichts.
Jetzt kommt die Produktregel ins Spiel
( u * v ) ´ = u´ * v + u *  v ´
[ x * ln ( x ) ] ´ = 1 * ln ( x ) + x * 1 / x
[ x * ln ( x ) ] ´ = ln ( x ) + 1
Eigentlich stört nur noch die 1.
Diese könnte mit der Gegenoperation  -1
aufgehoben werden z.B.
ln ( x ) + 1 - 1
Wie kommen wir auf das Glied -1 als Ableitung
eines Terms ?
- ( x ) ´ = - 1
Also ergibt sich
[ x * ln ( x ) ] ´ - x ´
Allgemein für
 a ´ - b ´ gilt ( a -b ) ´
In diesem Beispiel
[ x * ln ( x )  - x ] ´ = ln ( x)
Die Stammfunktion für ln ( x ) lautet also
x * ln ( x )  - x
wer will kann auch das x ausklammern
x [ ln ( x ) - 1 ]
So vielleicht hilft der Weg weiter.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg