Wie berechne ich die Steigung an der Stelle x0=1?

Question

Wie berechne ich folgende Aufgabe?

f(x)= 2(x²+3x-1) Wurzel x²+3x

Ich habe versucht die Produktregel und die Kettenregel anzuwenden, allerdings bin ich da nicht wirklich weitergekommen.

Answer 1

f ( x ) = 2 ( x ² + 3 x - 1 ) √ ( x ² + 3 x )

= ( 2 x ² + 6 x - 2 ) √ ( x ² + 3 x )

u = ( 2 x ² + 6 x - 2 )

u ' = 4 x + 6

v = √ ( x ² + 3 x )

v ' = ( 2 x + 3 ) * 1 / ( 2 √ ( x ² + 3 x ) ) = ( 2 x + 3 ) / ( 2 √ ( x ² + 3 x ) )

Also:

f ' ( x ) = u ' * v + u * v '

= ( 4 x + 6 ) √ ( x ² + 3 x ) + ( 2 x ² + 6 x - 2 ) * ( 2 x + 3 ) / ( 2 √ ( x ² + 3 x ) )

= 2 ( 2 x + 3 ) √ ( x ² + 3 x ) + ( 2 x ² + 6 x - 2 ) * ( 2 x + 3 ) / ( 2 √ ( x ² + 3 x ) )

Ersten Summanden mit  2 √ ( x ² + 3 x ) erweitern, dadurch kommen beide Summanden auf einen gemeinsamen Nenner und im ersten Summanden wird die Wurzel quadriert und entfällt dadurch:

= (  2 ( 2 x + 3 ) * 2 * ( x ² + 3 x ) + ( 2 x ² + 6 x - 1 ) * ( 2 x + 3 ) ) / ( 2 √ ( x ² + 3 x ) )

Mit 2 kürzen:

= (  2 ( 2 x + 3 ) * ( x ² + 3 x ) + ( x ² + 3 x - 1 ) * ( 2 x + 3 ) ) / √ ( x ² + 3 x )

( 2 x + 3 ) ausklammern:

= ( 2 x + 3 ) ( 2 ( x ² + 3 x ) + ( x ² + 3 x - 1 ) ) / √ ( x ² + 3 x )

Zweiten Faktor ausmultiplizieren und zusammenfassen:

= ( 2 x + 3 ) ( 3 x ² + 9 x - 1 ) / √ ( x ² + 3 x )

f ' ( 1 ) = 5 * 11 / 2 = 55 / 2 = 27,5

Comments

Am Anfang muss ich doch die Klammer *2 nehmen. Wie komme ich dann auf (2x²+6x-3) ich hätte jetzt gesagt (2x²+6x-2).

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Wie komme ich auf

= 3 ( 2 x + 3 ) ( 2 x ² + 6 x -1 ) ) / ( 2 √ ( x ² + 3 x )) ?

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Wie komme ich dann auf (2x²+6x-3) ich hätte jetzt gesagt (2x²+6x-2).

Sorry, das ist ein Tippfehler.  Es muss natürlich (2x²+6x-2) heißen. Ich werde es korrigieren.

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Ok super :) 

und wie komme ich auf 

= 3 ( 2 x + 3 ) ( 2 x ² + 6 x -1 ) ) / ( 2 √ ( x ² + 3 x )) ?

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Gar nicht.

Der Tippfehler wirkte sich natürlich auch auf die Ableitung aus. Ich habe in meiner Antwort in rot markiert, welche Änderungen sich durch die Korrektur ergeben.

Wenn du noch einen Augenblick Geduld hast, schreibe ich auch noch ein paar mehr Rechenschritte dazu.

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So, nun bin ich fertig :-)

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Leider bin ich immernoch ein bisschen durcheinander, allerdings ist mir gerade aufgefallen, dass ich schon ganz am Anfang einen Fehler gemacht habe, weil ich geschrieben habe

f ( x ) = 2 ( x ² + 3 x - 1 ) √ ( x ² + 3 x ) 

und es hätte sein müssen

f ( x ) = 2 ( x ² - 3 x - 1 ) √ ( x ² + 3 x ) 

Jetzt hacke ich noch bei 

(4x-6) * √ ( x ² + 3 x ) + (2x+3) / √2(x²+3x) * 2x² - 6x - 2

 

Entschuldige bitte meinen Fehler :(

Trotzdem schon einmal vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort, wirklich super :)!!!