Ableitung erster und zweiter Ordnung: f(x) = (1+x^2)√(1-x^2)

Question

Komme mit folgender Ableitung nicht ganz klar:

$$f(x)=(1+x)^2\cdot\sqrt{1-x^2}$$

Ich hätte zuerst die Wurzel weggebracht... sonst habe ich ja eine Produktregel und eine Kettenregel.. Aber wie bring ich die weg.. in dem ich ^-0,5 dahinter schreib?

Und wie würde dann die zweite Ableitung aussehen?

Comments

Die Wurzel bringst du nicht weg. ^{-0.5} ist eine gute Idee. Aber kombiniere ruhig Kettenregel und Produktregel. Danach kannst du mit Wurzeln rumprobieren. Vielleicht kommst du sogar auf die vereinfachte Darstellung von WolframAlpha (Stichwort: Derivative)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%281%2Bx%5E2%29√%281-x%5E2%29

Answer 1

f(x) = (1+x^2) √(1-x^2)

 

f(x) = (1+x^2)*(1-x^2)^0.5

f ' (x) = 2x * (1-x^2)^0.5  + (1 + x^2) * 0.5 (1 -x^2)^{-0.5} * (-2x)

                            |Damit Wurzel nur noch im Nenner ersten Teil mit √… erweitern

        = (2x * (1-x^2)  + (1 + x^2) * 0.5 * (-2x) ) / (1 -x^2)^{0.5}

      =  (x(2-2x^2  + (1 + x^2) * 0.5 * (-2) ) )/ (1 -x^2)^{0.5}

=  (x(2-2x^2  - (1 + x^2) ))/ (1 -x^2)^{0.5}

=  x(1-3x^2 ) / (1 -x^2)^{0.5}

= (x - 3x^3) / (1 -x^2)^{0.5}

Um das nochmals abzuleiten schreibt man besser

f ' (x) =  (x - 3x^3) * (1 -x^2)^{-0.5}

f ' ' (x) = (1 - 9x^2) * (1 -x^2)^{-0.5} + (x - 3x^3)*(-0.5) (1-x^2)^{-1.5} * (-2x)

= (1 - 9x^2) * (1 -x^2)^{-0.5} + (x - 3x^3)* (1-x^2)^{-1.5} * (x)

Wenn man will: auf einen Bruchstrich bringen:

= (1 - 9x^2) *(1-x^2) (1 -x^2)^{-1.5} + (x - 3x^3)* (1-x^2)^{-1.5} * (x)

 |gleicher Nenner

=  ((1 - 9x^2) *(1-x^2)  + (x^2 - 3x^4) )/  (1-x^2)^{1.5} 

= (1 - 10x^2 + 9x^4 + x^2 - 3x^4) / (1-x^2)^{1.5} 

= (6x^4  - 9x^2 + 1) /  (1-x^2)^{1.5}