Eine Optimierungsaufgabe mithilfe einer quadratischen Funktion lösen

Question

Ich bräuchte mal Hilfe!

Ich habe eine Textaufgabe die ich mit einer quadratischen Funktion lösen soll. Nur leider weiß ich nicht wie...
Über eine ausführliche Antwort würde ich mich sehr freuen.
;)

Ein Landwirt möchte eine Pferdekoppel von  640m²  mit einem lediglich  100m  langem Zaun einzäunen. Um mit den Landmaschinen auf die Koppel zu kommen, muss eine  4m  breite Durchfahrt frei gelassen werden.

Berechne die Länge und Breite der Pferdekoppel.

Answer 1

Zuerst mal die Pferdekoppel von oben. Die Seitenlängen des Rechtecks sind unbekannt; deshalb x und y. Zu erwartende Einheit von x und y ist m.

 

Ich nehme das erst mal genau, was im Text steht und optimiere da nichts:

Es gilt für die Fläche:

1.       x*y = 640.

und für den Zaun:

2.      2x - 4 + 2y = 100.

Einige Umformungen:

2.'     2y  = 104 - 2x

2.''    y = 52 - x

2.'' in 1. einsetzen:

3.     x * (52-x) = 640.

        52x - x^2 = 640.

4.      0= x^2 - 52x + 640

Das ist eine quadratische Gleichung. Es gilt:

x_1,2 = (52-±√ ( 52^2 - 4*640) ) /2

x_1,2 = (52-±√ 144 ) /2

x_1,2 = (52-±12 ) /2

x1 = 32 ; x2 = 20

In 2.'' einsetzen

y1=52-32 = 20, y2=52-20 = 32

Also: Mit x = 20 Meter und y = 32 Meter und mit x = 32 Meter und mit y = 20 Meter werden die Vorgaben genau erreicht. 

Die gestellte Aufgabe ist hier eigentlich fertig gelöst.

 

Jetzt zur Optimierung:
Die Frage ist, das da zu oprimieren wäre; es soll ja offenbar eine Optimierungsaufgabe sein. Ich nehme an, dass er mit dem Zaun eine möglichst grosse Fläche (mehr als 640 m² einzäunen will.

und ersetze in 3. die Fläche durch eine Funktion P(x):

3. ist neu: P(x) = x * (52- x) = 52 x - x²

Das ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deren Scheitelpunkt ist ein sog. Hochpunkt der Funktion. Die Nullstellen sind x1= 0 und x2 = 52. Aus Symmetriegründen ist der x-Wert des Scheitelpunktes genau in der Mitte; also bei x = 26.

Dazu kann man y = 52-x berechnen. Das ist auch 26.

Die Fläche, die den Pferden zur Verfügung steht ist somit sogar. (26 m)² = 676 m²

Probe P(26) = 52 * 26 - 26²  = 676.

Optimal im Sinne der beschriebenen interpretation steckt er ein 26m * 26m grosses Flächenstück ab. Die 4m breite Lücke kann überall angebracht werden.

Zurück zur ursprünglichen Aufgabe:

Auch 

4.      0= x^2 - 52x + 640

Kann mit Hilfe einer quadratischen Funktion gelöst werden.

Man muss da die Nullstellen von

f(x)= x^2 - 52x + 640

bestimmen. Und bekommt sie z.B. durch Faktorisierung:

f(x) = (x -32 )(x-20) -> x1=32 und x2=20, von da an weiter wie zuerst.

Bei der Faktorisierung benutzt man

(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab

 

 

 

 

 

Answer 2

Die Aussagen in der Aufgabe sagen aus

I.    x*y=640 m²                  Flächeninhalt

II.     2x+2y-4m=100 m            Umfang mit einer Lücke für die Landmaschine von 4m

II.      y=52m-x                                        nach y auflösen ,    II. in I einstzen   

x(52m-x)=640m²                                   ausklammern, -640m², sortieren

-x²+52m x-640m²=0                              *-1 nehmen und pq+Formel anwenden

x²-52x+640=0

x_1,2=26±√676-640                x₁=32     x₂=20

dies ist auch schon die Lösung  x=32m und y=20m, zur Kontrolle noch die Probe machen.