Berechnung der Tangentialebene

Question

ich komme bei der Berechnung von Tangentialebenen nicht weiter, kann es mir hemand vielleicht vorrechnen?

es muss die Tangentialebene im Punkt (0

0) von der folgenden Funktion berechnet werden

f (x, y) = x² + sin y

Answer 1

Mit dem Taylorpolynom erster Ordnung von f ( x , y ) erhält man die Gleichung der Tangentialebene von f ( x , y ) an der Stelle ( x₀, y₀ ) :

z = f ( x₀, y₀ ) + f_x ( x₀, y₀ ) ( x - x₀ ) + f_y ( x₀, y₀ ) ( y - y₀ )

Dabei sind f_x ( x₀, y₀ ) bzw. f_y ( x₀, y₀ ) die ersten partiellen Ableitungen von f an der Stelle ( x₀, y₀ ).

 

Also in deinem Beispiel:

f ( x , y ) = x ² + sin y

( x₀, y₀ ) = ( 0 , 0 )

f ( x₀, y₀ ) = 0

f_x ( x , y ) = 2 x , also: f_x ( x₀, y₀ ) = 2 x₀ = 2 * 0 = 0 ,

f_y ( x , y ) = cos y , also: f_y ( x₀, y₀ ) = cos ( x₀ ) =  cos ( 0 ) = 1

und somit ist

z = f ( x₀, y₀ ) + f_x ( x₀, y₀ ) ( x - x₀ ) + f_y ( x₀, y₀ ) ( y - y₀ )

= 0 + 0 * ( x - 0 ) + 1 * ( y - 0 )

= 0 x + 1 y

bzw.

0 x + 1 y - 1 z = 0

die Gleichung der Tangentialebene an f ( x , y ) im Punkt ( 0 , 0 ) in Koordinatenform.