Wozu Vorzeichenwechsel oder 2. Ableitung bei Polynomfunktionen mit nur 3 Richtungsänderungen

Question

warum wird bei Polynomfunktionen mit nur 3 Richtungsänderungen des Graphen über Vorzeichenwechsel oder 2. Ableitung von f(x) überprüft, ob es sich um einen Hochpunkt (relatives Maximum) oder Tiefpunkt (relatives Minimum) handelt?

Denn durch die Nullstellenbestimmung der 1. Ableitung f'(x) sind die x-Achsenabschnitte der Extrempunkte des Funktionsgraphen f(x) bekannt und durch Einsetzen in die dazugehörige Funktionsgleichung f(x) können auch die die y-Achsenabschnitte ermittelt werden.

Somit haben wir die Extrempunkte. Der höhere y-Achsenabschnitt in den beiden Extrempunkten ist doch natürlicherweise der Hochpunkt (und umgekehrt).

Dient Vorzeichenwechsel oder 2. Ableitung bei Polynomfunktionen mit nur 3 Richtungsänderungen des Graphen nur zum Einstieg und zur Übung?

Und als "Beweis"?

Liebe Grüße

Answer 1

" Somit haben wir die Extrempunkte. Der höhere y-Achsenabschnitt
in den beiden Extrempunkten ist doch natürlicherweise der Hochpunkt
(und umgekehrt). "

Leider nicht.

f ( x ) = 1 / x + x

Schau dir einmal diese Funktion mit dem Funktionsplotter oben rechts
auf dieser Seite an oder führe einen Extremwertbestimmung, Wert und Art,
durch.

Das Minimum hat einen positiven y-Wert, das Maximum einen
negativen y-Wert.

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mfg Georg

Comments

Dein Beispiel ist aber kein Polynom. Oder?

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@Lu
Richtig. Ich muß nachfragen :
Was sind 3 Richtungsänderungen ?
Richtungsänderung = Vorzeichen-Wechsel der Steigung ?
mfg Georg

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Z.B.

.........

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Die Aufabenstellung lautet
- Extremwertbestimmung
- Wert und Art
Schema
1.Ableitung bilden
zu 0 setzen
( was genau herauskommt kann ich dir leider vorab
nicht sagen. Die 1.Ableitung ist eine Funktion 2.Grades.
Es könnten 2 Nullstellen, 1 Nullstelle oder keine Nullstelle
herauskommen.z.B. f ( x ) = x^3, f ´( x ) = 3*x^2, x = 0. Die
Funkton ist monoton steigend )
2.Ableitung bilden
Die Nullstellen der 1.Ableitung ind die 2.Ableitung
einsetzten. Ist der Funktionswert
- positiv. -> Tiefpunkt
- negativ -> Hochpunkt.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

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piknockyou: Das sind Polynome 3. Grades.

Ich sehe keine 3 Richtungsänderungen.
Du meinst vermutlich 3 Nullstellen. Oder?

Hier kannst du tatsächlich am y-Achsenabschnitt schon erkennen, welches Extremum ein Maximum resp. Minimum ist.

Allerdings musst du dann eine begrifflich korrekte Begründung in Worten schreiben. Die zweite Ableitung ausrechnen und deren Vorzeichen berechnen geht vermutlich schneller.