Berechnen Sie den Zwischenwinkel der gegebenen Vektoren:

Question

a) a→=(12|-5), b→=(4|3)

b) a→=(0|6), b→=(15|8)


Die b) möchte ich selber versuchen. Es wäre schön, wenn mir jemand die a) ausführlich erklärt mit jeden Schritt, wie man einen Zwischenwinkel berechnet :) wahrscheinlich braucht man da den sin, cos und tan, aber weiß nicht .. ^^

Answer 1

Hi Emre,

 

da musst Du direkt mit so einem Hammer kommen :-D

 

a)

cos (θ) = u * v / (|u| * |v|) = (12|-5) * (4|3) / [|(12|-5)| * |(4|3)|]

= (12 * 4 + (-5) * 3) / [√(12² + 5²) * √(4² + 3²)]

= 33 / (13 * 5)

= 33 / 65

θ = arccos (33/65) ≈ 59,49°

 

Hoffe, das ist richtig; guckst Du einmal hier:

http://matheguru.com/lineare-algebra/219-winkel-zwischen-zwei-vektoren.html

 

Besten Gruß

Comments

Hi Andreas :)

meine erste Frage lauter.. was meinst Du mit dem ersten Satz mit dem Hammer? Habs nicht so verstanden :D

Und ich denke dies θ ist keine normale "0" wie ich sie kenne Oo

und wieso hast Du cos verwendet und nicht sin oder tan? Benutzt man immer cos?

Ich meine man kann ja mit dem Skalarprodukt berechnen, ob die Vektoren Senkrecht zu einander sind und dann kann man ja schauen, aber ich denke das ist falsch, was ich überlege.. eigentlich kann ich deine Rechnung nachvollziehen, bis auf cos :)

die b) mah ich mal .. mal sehen obs stimmt :)

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Was meine ich mit dem Hammer? :-D

Damit meine ich, dass diese Frage recht schwierig war - Winkel zwischen Vektoren werden meines Wissens nicht einmal im Abitur (Grundkurs) in NRW abgefragt.

 

Das θ ist in der Tat keine Null, sondern der griechische Buchstabe Theta.

 

Warum cos? Weil die Formel so lautet! :-)

Schau mal in die von mir verlinkte Seite. 

 

Das von mir angegebene Ergebnis scheint übrigens zu stimmen, wenn man sich eine kleine Skizze macht und mit dem Geodreieck nachmisst: 

                                                                            

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Oha ist das so schwer?? hmmm ich versuch mal die b)

ja habs dann gemerkt, dass es nur cos ist :D

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Na ja, so schwer ist es eigentlich nicht - wenn man sich nur die Formel merken könnte :-D

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haha ich lerne dann diese Formel jetzt schon auswendig. Hab 3 Jahre Zeit juhu. So ich mach mich dann mal an die b) bis gleich :D

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b) a→=(0|6), b→=(15|8)

cos(θ)=(u*v)/(|u|*|v|)

cos(θ)= (0*15+6*8)/(√(0²+6²)*√(15²+8²)

 

cos(θ)^-1 = 48/102

≈ 61.93

Habs dann noch schnell korrigiert :) hab den Fehler gesehen ^^

 

Ich hoffe das stimmt :)

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Fast, aber nicht ganz:

 

cos(θ) = (0*15+6*8) / [√(0² + 6²)*√(15² + 8²)] =

48 / (6 * 17) =

48 / 102

θ = arccos (48/102) ≈ 61,93°

 

Abgesehen davon erscheint mir die Schreibweise

cos(θ)^-1 = 63/(√36 * √289)

nicht ganz koscher - mach es vielleicht besser so wie ich :-)

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Ich habe ausversehen für eine 1 gesehen, statt eine 0 ^^ habs dann direkt verbessert :)

aber immerhin habs beim ersten mal fast richtig gemacht.... vektoren... da könnte sicht eine Gute Freundschaft entwickeln :P

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Prima, jetzt stimmt es!!

 

Aber mit der Schreibweise würde ich es mir doch noch mal überlegen:

arccos (48/102) = θ

bzw.

cos^-1 (48/102) = θ 

scheint mir besser :-)

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juuuuuhhu ja ich machs wie du :)

so ich bin auch für Heute weg :)

Danke für deine Hilfe und bis zum nächsten Mal :)

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Ja, Vektorrechnung ist eine feine Sache und eigentlich recht übersichtlich.

Answer 2

Winkel zwischen den Vektoren [a, b] und [c, d]

Skalarprodukt

[a, b] * [c, d] = ac + bd

Vektorlängen

| [a, b] | = √(a^2 + b^2)

| [c, d] | = √(c^2 + d^2)

Winkel

α = ARCCOS(([a, b] * [c, d]) / (| [a, b] | * | [c, d] |))

α = ARCCOS((ac + bd) / (√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)))

Einsetzen und ausrechnen sollte dann passen.

Comments

Hallo Mathecoach Danke auch für deime Hilfe :) Die b) hatte ich fast richtig..ich hatte nur ausversehen eine anderr Zahl getippt ^^ aber dann hab ich es verbessert :)

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Ich habe dir mal ein Template für Wolframalpha geschrieben mit dem du Winkel zwischen dreidimensionalen Vektoren berechnen kannst.

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=86ace97e6c182b559657f228ad0ea656

Soll das bei zweidimensionalen gemacht werden brauchst du nur die dritte Komponente gleich Null setzen.