Nach Wikipedia gibt der Satz der impliziten Funktion ein Kriterium an, wann man die Gleichung in einer Umgebung auflösen kann.
Ich behaupte: für (x,y)=(-4,1) bzw. (x,y)=(-2,-2) läßt sich die Gleichung x^2-2xy+4y^3=28 in einem Interval um x eindeutig und stetig differenzierbar nach y auflösen.
Beweis: x^2-2xy+4y^3-28=0 und F(x,y):=x^2-2xy+4y^3-28
dann ist
$$ \nabla F=\left(\begin{array}{rr} 2x-2y \\ -2x+12y^2\end{array}\right) $$
die quadratische Teilmatrix der Jacobi-Matrix, die die partiellen Ableitungen von F nach den y-Variablen enthält
$$\left(\begin{array}{r} -2x+12y^2\end{array}\right)$$
und diese ist
für (x,y)=(-4,1) also \( \left(\begin{array}{r} -2(-4)+12\cdot 1^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 20\end{array}\right)=\left|\begin{array}{r} 20\end{array}\right|\neq 0 \) invertierbar
für (x,y)=(-2,-2) also \( \left(\begin{array}{r} -2(-2)+12\cdot (-2)^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 52\end{array}\right)=\left|\begin{array}{r} 52\end{array}\right|\neq 0\) invertierbar
für \( (x,y)=(6,1)[/latex] also [latex]\left(\begin{array}{r} -2(6)+12\cdot (1)^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 0\end{array}\right)=\left|\begin{array}{r} 0\end{array}\right|=0 \) nicht invertierbar
Daraus folgt die Behauptung. Bin ich da auf dem richtigen Weg?
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(-4,1) sehr wohl. (-2,-2) nicht, das stimmt. Und aus deinem plot kann man ja auch entnehmen, dass das ergebnis jedenfalls stimmt, denn ab ca. x=5,4 ist die Gleichung ja nicht mehr eindeutig nach y auflösbar.
