Extremwertaufgabe mit Funktionen mehrerer Variablen

Question

Bestimmen Sie Position und Art der lokalen Extrema von

\( f(x, y, z)=x^{2}+y^{4}+z^{2} . \)

\( f(x, y)=(y-1)^{2}-x(x-3)^{2} \).

Answer 1

Hi,

ich mach mal das erste.

Bilde den Gradienten und setze ihn 0. Dafür ableiten:

f_x = 2x

f_y = 4y³

f_z = 2z

 

Der Gradient ist nur 0, wenn x = y = z = 0 ist.

Stelle die Hesse-Matrix auf und setze den Punkt ein.

f_xx = 2

f_xy = 0 = f_xz

f_yy = 12y^2

f_yz = 0

f_zz = 2

 

Wenn ich mich nicht vertan habe:

$$H = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 12y^2 & 0 \\ 0 & 0& 2\end{pmatrix}$$

Nun unseren Punkt einsetzen und die Determinante ausrechnen. Diese ist >0, wie auch der erste Eintrag f_xx > 0 ist -> Minimum.

 

Wir haben ein Minimum für x = y = z = 0.

 

Zur Kontrolle für das zweite:

Man müsste zwei stationäre Punkte finden  (1,1), (3,1).

MItt der Hesse-Matrix dürfte nur (1,1) als Minimum in Frage kommen ;).

 

Grüße

Comments

Hey

erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort :)

Was meinst du jetzt mit Punkt einsetzen? Hast du da jetzt 0 für y eingesetzt, sodass da dann steht
(2 0 0⟩
(0 0 0)

(0 0 2)  ?

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Genau so ist es. Wären noch x'en und z's dabei gewesen, hättest Du das ebenfalls machen müssen ;).

Im zweiten Teil für x und y 1 einsetzen, bzw. x = 3 und y = 1.

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Ok , aber wenn ich jetzt die Determinante ausrechne komme ich genau auf 0. Aber laut deiner Aussage sollte sie ja größer 0 sein. Hab ich was falsch gemacht ? :S

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Du hast recht. Das hatte ich irgendwie übergangen :D.

Dann kommst Du damit nicht weiter. Dann muss (0,0,0) gesondert untersucht werden. Das ist hier aber (Gott sei Dank) ganz einfach^^.


f(x,y,z) - f(0,0,0) = x^2+y^4+z^2 - 0 ≥ 0, denn alle haben gerade Exponenten und werden nie negativ. Und wenn wir nun noch f(x,y,z) ≠ f(0,0,0) verlangen, dann ist f(x,y,z) > f(0,0,0) (also echt größer).

Das erlaubt weiterhin die Aussage -> ein Minimum liegt vor (hatte also oben Glück gehabt :D)


Ok?