Reihen auf Konvergenz überprüfen: Bsp. ∑(n=1 bis ∞) (2n)! / ((3n)^n * n!)

Question

habe folgende Aufgabe, habe auch Lösungen dazu, bräuchte allerdings ein Feedback, ob das so geht

Untersuchen Sie die Reihen  ∑ (n=1 bis ∞) a_n auf Konvergenz

d) a_n:= (2n)! / ((3n)ⁿ * n!)

e) a_n:= (n!)² / 2^{n^2}

f) a_n:= 1/ n*ⁿ√(nn+1)     [ das ⁿ√ ...  soll n-te wurzel sein)

Nun zu meinen Lösungen:

d) Quotientenkriterium

q= lim |(2n +2)! / ((3n+3)ⁿ⁺¹ *(n+1)! ) * ((3n)ⁿ * n!)/(2n)! |

= lim | ((2n! *(2n+1)(2n+2)) / ((3n+3)ⁿ(3n+3)*n!(n+1) ) *  ((3n)ⁿ*n!) / (2n)!) |

= lim | ((2n+1)(2n+2) / ((3n+3)(n+1)) * ((3n)ⁿ/(3n+3)ⁿ ) | = 0 < 1

⇒Reihe konvergent

e) Quotientenkriterium

q= lim |((n+1)!)² / 2^{(n+1)^2}  *  (2^{n^2})/(n!)² |  = lim | ( (n+1)! / n!)² * (2ⁿ/ 2ⁿ⁺¹)² | = lim | (n+1)² / 2² |

= lim | (n+1 / 2)² | = ∞> 1

⇒Reihe divergent

f) Quotientenkriterium

q= lim | (1/( n+1)*ⁿ⁺¹√(n+2)) / (1/(n*ⁿ√(n+1)) |

= lim | ((n*ⁿ√(n+1)) / ((n+1)*ⁿ⁺¹√(n+2) ) |

= lim | n/(n+1) | * lim |((ⁿ√(n+1)) / (ⁿ⁺¹√(n+2))) |

= 0 < 1

⇒Reihe konvergiert

 

Kann man das jeweils so machen?

Comments

zu f):  lim | n/(n+1) | * lim |((ⁿ√(n+1)) / (ⁿ⁺¹√(n+2))) | = 1*1 = 1

Versuch am besten das Majoranten-/Minorantenkriterium zu benutzen.

 

zu d): Geht aus dem letzten Term wirklich (leicht ersichtlich) hervor, dass es kleiner 1 ist?

Denn (2n+1)(2n+2) > (3n+1)(n+1) 

 

zu e): 2^{n}^2/2^{n+1}^2 gekürzt ist nicht 2^2. Schreibe am besten die ersten paar Werte auf und dann erkennst du die Regel, die dahinter steckt.

Answer 1

zu d): ausgehend von deiner letzten Zeile

$$ \lim_{x\to∞} \frac { 2(2n+1)*n^n }{ (3n+3)*(n+1)^n }=\lim_{x\to∞}\frac { (4n+2) }{ (3n+3) }*\lim_{x\to∞}(\frac { n }{ n+1 })^n = \lim_{x\to∞} \frac { 4 + \frac { 2 }{ n } }{ 3+\frac { 3 }{ n } }* 1=4/3>1$$

Also ist die Reihe divergent.

zu e):
Da müsste in der letzten Zeile $$ \frac { (n+1)^2 }{2^{ 2n+1 }}$$ stehen.Der Limes davon ist <1, d.h konvergent.

Comments

Korrektur: Mir ist ein schwerer Fehler unterlaufen: Der Limes von (n/n+1)^n ist 0.

Das bedeutet dann natürlich, dass der Limes vom gesamten Term auch 0 ist.