Differentialrechnung ganzrationale Funktion 3. Grades Funktionsgleichung herausfinden?

Question

Ich habe hier in meinem Buch eine Aufgabe die da lautet: "Der Wendepunkt des Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist W(1/2|0). Die Nullstellen sind x = -1 und x = 2. Die Ordinatenachse wird im Punkt P1(0|2) geschnitten. Erstellen sie die Funktionsgleichung"

Daran habe ich mich nun versucht.

Was dabei herauskam ist: f(x) = 2

Diese 2 habe ich aus d errechnet. Dies habe ich herausbekommen, als ich den Punkt P1 einsetzte.

Für die Nullstellen habe ich das gleiche gemacht..Ist das richtig? Also die Nullstellen als normale Punkte zu behandeln und einfach in die normale funktionsgleichung einzusetzen? Ausserdem habe ich hier direkt angegeben, dass d=2 ist.

Für den Wendepunkt habe ich die 2.Ableitung denommen und diese 0gesetzt und dazu x=1/2 eingesetzt.

Nach dem Gauß Algorithmus habe ich nun überall 0 als Ergebnis also für a,b,c. Ausser d, welche ich wegen dem schon vorher herausgekommenen Ergebnis D=2 nicht mehr im Algorithmus benutzt habe.

Liebe Grüße und !

Answer 1

Hi,

eigentlich passt das so, wie Du es sagst. Ob Du da was falsch umgesetzt hast?

Mal eine Skizze:


f(1/2) = 0

f''(1/2) = 0

f(0)=2

f(2) = 0


(Eine Bedingung ist ja zu viel. Die müssen wir nachher noch überprüfen)

Gleichungssystem, das sich ergibt:

1/8a + 1/4b + 1/2c + d = 0

3a + 2·b = 0

d = 2

8a + 4b + 2c + d = 0


--> f(x) = 2x^3-3x^2-3x+2


Setzen wir noch x = 1 ein und hoffen, dass 0 rauskommt. Tatsächlich das passt. f(x) sollte so also richtig sein ;).


Grüße

Answer 2

 "Der Wendepunkt des Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist W(1/2|0).

Die Nullstellen sind x = -1 und x = 2.

Die Ordinatenachse wird im Punkt P1(0|2) geschnitten.

Erstellen sie die Funktionsgleichung"

\(f(x)=a*(x- \frac{1}{2})*(x+1)*(x-2)\)

\(P₁(0|2)\)

\(f(x)=a*(0- \frac{1}{2})*(0+1)*(0-2)=2\)     → \(a=2\)

\(f(x)=2*(x- \frac{1}{2})*(x+1)*(x-2)\)