Ganzrationale Funktion 4.Grades bestimmen

Question

gegeben sind WP (1/3), Die Steigug der Wendetangente -2 und es ist Y-Achsen Symmetrisch und ich muss damit eine ganzrationale Funktion 4. Grades bestimmen.

Answer 1

Hi,

der Ansatz einer symmetrischen Funktion 4ten Grades ist y = ax^4+bx^2+c

Du hast nun drei Bedingungen gegeben:

f(1) = 3    (Der Punkt W)

f'(1) = -2  (Wendetangente)

f''(1) = 0  (Wendepunkt)

Daraus ergibt sich die Gleichungen:

a + b + c = 3

4a + 2b = -2

12a + 2b = 0

Und das führt zu: y = 0,25x^4-1,5x^2+4,25

Grüße

Comments

zu den Gleichungen bin ich auch gekommen aber den Schritt zu der Funktion habe ich vergessen. Kannst du das mal erklären ?

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Wo hängst Du denn da? Aus der letzten Gleichung ergibt sich doch -12a = 2b. Damit in der vorletzte Gleichung: 4a-12a = -2 --> -8a = -2 --> a = 1/4. Den Rest bekommst Du hin? :) :)

Answer 2

Gegeben sind WP \((1|3)\), Die Steigung der Wendetangente \(m=-2\) Symmetrie zur y-Achse.

\(WP_1 (1|\red{3})\)→ \(WP_1 (1|0)\) einfache Nullstelle

symmetriebedingt:

\(WP_2 (-1|3)\)→ \(WP_2 (-1|0)\) einfache Nullstelle

\(f(x)=a[(x+1)(x-1)(x+N)(x-N)]\\=a[(x^2-1)(x^2-N^2)]\\=a[x^4-x^2-N^2x^2+N^2]\)

\(f'(x)=a[4x^3-2x-2N^2x]\)

\(f''(x)=a[12x^2-2-2N^2]\)

\(WP_1 (1|...)\)

\(f''(1)=a[10-2N^2]=0\)

\(N^2=5\):

\(f(x)=a[x^4-6x^2+5]\)

Steigung der Wendetangente \(m=-2\) 

\(f'(1)=a[4-12]=-8a=-2\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}[x^4-6x^2+5]\)

\(p(x)=\frac{1}{4}[x^4-6x^2+5]+\red{3}\)