Anwendungsaufgaben Exponentialfunktionen: radioaktives Präparat zerfällt nach dem Gesetz g(t)=e^{k*t+b}

Question

Wie geht das ?

 

Ein radioaktives Präparat zerfällt nach dem Gesetz g(t)=e^k*t+b

Dabei gibt g(t) die Masse der radioaktiven Substanz in Gramm t Tage nach Beginn der Beobachtung an.

Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 20g der Substanz vorhanden.

Nach 21 Tagen sind nur 2,5g dieser radioaktiven Substanz übrig.

Bestimmen sie k und t.

Nach wie vielen Tagen sind nur noch 1% der ursprünglichen Masse vorhanden?

Bstätigen sie, dass in 14 Tagen 3/4 der jeweils vorhanden Masse dieser Substanz zerfällt.

Answer 1

20 = 20*e^{k*0+b}

1 = e^b

b = ln1 = 0


2,5 = 20*e^{k*21+0}

ln(2,5)/20) = 21k

k = ln(2,5/20)/21


1% =0,2 g

0,2 = 20*e^{k*t}

t = ln(0,2/20)/k = 46,51 (Tage)


Nach 14 Tagen:

e^{k*14} = 0,25 = 25 % (bleiben übrig ---> 75% = 3/4 sind zerfallen)

Answer 2

Ein radioaktives Präparat zerfällt nach dem Gesetz g(t)=e^k*t+b
Dabei gibt g(t) die Masse der radioaktiven Substanz in Gramm
t Tage nach Beginn der Beobachtung an.
Zu Beginn der Beobachtung (t=0) sind 20g der Substanz vorhanden.
Nach 21 Tagen sind nur 2,5g dieser radioaktiven Substanz übrig.

Fehler : Bestimmen sie k und t. 
Sondern : Bestimmen sie k und b.

g ( t ) = e^{k*t+b}
g ( 0 ) = e^{k*0+b} = 20
e^b = 20
b = 2.996
g ( 21 ) = e^{k*21+2.996} = 2.5
e^{k*21} * e^2.996 = 2.5
e^{k*21} * 20 = 2.5
e^{k*21} = 0.125
k * 21 = ln(0.125)
k = -0.099

g ( t ) = e^{-0.099*t+2.996}
Proben
g ( 0 ) = e^{-0.099*0+2.996} = 20
g ( 21 ) = e^{-0.099*21+2.996} = 2.5

Nach wie vielen Tagen sind nur noch 1% der ursprünglichen Masse vorhanden?
1 % = 20 * 0.01 = 0.2
g ( t ) = e^{-0.099*t+2.996}  = 0.2
-0.099*t + 2.996  = ln(0.2)
-0.099*t   = -4.605
t = 46.52 Tage

Bestätigen sie, dass in 14 Tagen 3/4 der jeweils vorhanden
Masse dieser Substanz zerfällt.
g ( 14 ) = e^{-0.099*14+2.996}  = 5.00
20 - 5 = 15 ist 3/4 von 20
Allgemein
g ( 14 ) / g ( 0 ) = 5.00 / 20.0 = 1 /4
Zerfallen 3 / 4

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mfg Georg