Aufgabe:
Im folgenden bezeichen \( p=p_{2} x^{2}+p_{1} x+p_{0} \) und \( q=q_{2} x^{2}+q_{1} x+q_{0} \) immer Polynome im \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \).
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
\( \begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle_{b}: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \times \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R} \\ \langle p, q\rangle_{b} &=p_{2} q_{2}-p_{2} q_{1}-p_{1} q_{2}+p_{1} q_{1}+p_{0} q_{0} \end{aligned} \)
kein Skalarprodukt des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) ist. Hinweis: Welche Eigenschaft eines Skalarprodukts ist verletzt? Finden Sie ein Gegenbeispiel.
b) Gegeben sei das Skalarprodukt
\( \begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle_{g}: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \times \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R} \\ \langle p, q\rangle_{g}=2 p_{2} q_{2}+p_{1} q_{1}+p_{1} q_{0}+p_{0} q_{1}+2 p_{0} q_{0} \end{aligned} \)
für den Vektorraum \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) sowie die Basis \( \mathcal{B}=\left\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\} \) des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) mit \( b_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} x^{2}, b_{2}=x-1 \) und \( b_{3}=x \).
Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B} \) eine Orthonormalbasis bzgl. \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{g} \) des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) ist.
c) Berechnen Sie die Abbildungsvorschrift der Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}} \) mit Aufgabenteil b).
