Monotonie und Ungleichung ((x^p)+1)^2 < ((x^2)+1)^p zeigen.

Question

Sei f : [0, ∞) → R definiert durch f(x) = ((x^2)+1)^{p/2} - (x^p) −1

wobei p eine beliebige Zahl mit 2 < p < ∞ sei.

Untersuchen Sie f auf Monotonie und zeigen Sie die Ungleichung

((x^p)+1)^2 < ((x^2)+1)^p

für alle x>0.

Hinweis: Um die Ungleichung zu zeigen,berechnen Sie f(0) und verwenden die Monotonie von f.

Answer 1

Es ist \(f'(x)=p/2(x^2+1)^{\frac{p-2}{2}}\cdot 2x-px^{p-1}\)

Mit der Bernoullischen Ungleichung folgt:

\(f'(x)\geq p ((x^{p-1}+\frac{p-2}{2})x-x^{p-1})=p\frac{p-2}{2}x\gt 0\) für \(x\gt 0\).

Die Funktion wächst also streng monoton in \((0,\infty)\) und es ist \(f(x)\gt 0=f(0)\)

für \(x\gt 0\), also wächst sie sogar streng monoton in \([0,\infty)\).

Somit ist \((x^2+1)^{p/2}>x^p+1\). Quadrieren liefert:

\((x^p+1)^2\lt (x^2+1)^p\) für \(x\gt 0\).