Monotonie zeigen für Leibniz Kriterium

Question

Für die Monotonie muss ich ja a_n>=a_n+1 zeigen. Ich habe daher folgende Ungleichung:

$$ \frac { { n }^{ 3 }-{ n }^{ 2 } }{ { n }^{ 5 }+3\sqrt { n }  } \ge \frac { { (n+1) }^{ 3 }-{ (n+1) }^{ 2 } }{ { (n+1) }^{ 5 }+3\sqrt { n+1 }  } $$

Wäre es sinnvoll dann $$*{ { n }^{ 5 }+3\sqrt { n } \quad \quad *{ (n+1) }^{ 5 }+3\sqrt { n+1 }  } $$

zu rechnen um den Bruch aufzulösen? Ist das erlaubt?

Kommt dann $$({ n }^{ 3 }-{ n }^{ 2 })*(({ n+1 })^{ 5 }+3*\sqrt { n+1 }) \ge ({ (n+1) }^{ 3 }-{ (n+1) }^{ 2 })*({ n }^{ 5 }+3*\sqrt { n } ))$$ raus?

Answer 1

Also du erweiterst beide Brüche.

Du weißt dann, dass der der zweite Faktor der ersten Multiplikation größer ist als der zweite Faktor der zweiten Multiplikation.

Wenn du jetzt noch zeigen kannst, dass

(n^3 - n^2) >= (n+1)^3 - (n+1)^2

Dann wärst du auf diese fertig( vielleicht mal ausmultiplizieren).

Comments

Deine Ungleichung gilt nicht. Man braucht nicht auszumultiplizieren man sieht es durch ausklammern direkt.

$$ n^2\cdot (n-1) \leq (n+1)^2 \cdot n \quad n \in \mathbb{N} $$