Ungleichung zeigen (monotonie)

Question

hat einer eine Idee wie ich dass hier eindeutig zeige,dass es stimmt bzw. dass es nicht stimmt ...

$$|{ (-1) }^{ n+1 }*\frac { 1 }{ \sqrt { n+1 }  } *(1+\frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ \sqrt { n+1 }  } )|\le |(-1)^{ n }*\frac { 1 }{ \sqrt { n }  } *(1+\frac { (-1)^{ n } }{ \sqrt { n }  } $$

Also dass ist meine um zu zeigen, dass die Reihe

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ (-1)^{ n }*\frac { 1 }{ \sqrt { n }  } *(1+\frac { (-1)^{ n } }{ \sqrt { n }  } ) } $$

konvergiert anhand des Leibnizkriteriums...

Danke schonmal

Comments

(-1)^n und (-1)^{n+1} am Anfang deiner Ausdrücke kannst du schon mal streichen (Betrag davon ist 1) .

Dann die Betragsstriche weglassen, da n≥ 1.

Nun geschickt abschätzen.

Answer 1

Hi, die zu untersuchende Partialsumme sieht ja so aus
$$  \sum_{n=1}^N (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \left( 1+ \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) = \sum_{n=1}^N  \left[ (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} \right] = \sum_{n=1}^N (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} + \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}  $$ und die Frage ist, konvergiert \( S_N \) gegen einen endlichen Wert. Die erste Summe konvergiert nach dem Leibniz Kriterium  und die zweite divergiert, also divergiert die gesamte Reihe.

Comments

Woher weisst du, dass die erste Summe gegen 0 geht? Du wolltest vermutlich schreiben: 

"Die erste Summe konvergiert gemäss Leibniz-Kriterium gegen einen endlichen Wert    

 und die zweite Summe divergiert, also divergiert die gesamte Reihe. "

Das genügt dann bereits. 

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Danke für die Korrektur, habe ich entsprechend eingefügt.