Summenzeichen Reihe berechnen: ∑(k=0 bis ∞) e^{kx}, wobei x<0.

Question

Hallo wie muss ich hier vorgehen?

summenzeichen von k=0 bis unendlich e^kx.

İch weiss nicht wie ich es berechnen soll

EDIT: ∑(k=0 bis ∞) e^{kx}, wobei x<0.

Comments

Ich hoffe da steht noch mehr in der Angabe. Für die meisten x (z.B. alle mit x > 0 ) konvergiert die Reihe nicht.

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İn det Aufgabe steht noch x<0 . Habe ich übersehen

Answer 1

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { e }^{ kx } }$$$$=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { e }^{ -(k*(-x)) } }$$$$=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { e }^{ k*(-x) } }  } }$$$$=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { { \left( { e }^{ -x } \right)  }^{ k } } }  } }$$$$=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { { \left( \frac { 1 }{ { e }^{ -x } }  \right)  }^{ k } } }$$Für x < 0 ist 1 / ( e ^{- x} ) < 1. Die Reihe in der vorangehenden Zeile ist somit eine unendliche geometrische Reihe und hat als solche den Wert:$$=\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ { e }^{ -x } }  }$$$$=\frac { 1 }{ \frac { { e }^{ -x }-1 }{ { e }^{ -x } }  }$$$$=\frac { { e }^{ -x } }{ { e }^{ -x }-1 }$$

Beispiel

Sei x = - 2. Dann:

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { e }^{ k(-2) } } =\frac { { e }^{ 2 } }{ { e }^{ 2 }-1 } \approx 1,1565$$

Comments

Wozu mchst du die ganzen Zwischenschritte: $$\sum_{k=0}^\infty e^{kx}=\sum_{k=0}^\infty (e^x)^k=\frac{1}{1-e^x}$$ für x

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Wozu machst du den Zwischenschritt?

$$\sum_{k=0}^\infty e^{kx}=\frac{1}{1-e^x}$$

für x < 0

:-)

Man darf wohl nicht voraussetzen, dass der Fragesteller diese Umformung(en) ohne die Zwischenschritte versteht - denn andernfalls hätte er sich sicher nicht genötigt gefühlt, seine Frage zu stellen, sondern hätte selber gewusst, was zu tun ist.

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Wozu mchst du die ganzen Zwischenschritte: $$\sum_{k=0}^\infty e^{kx}=\sum_{k=0}^\infty (e^x)^k=\frac{1}{1-e^x}$$ für x < 0 nach geom. Summenfomel. Sollte mein Beitrag lauten.