Die Reihe ∑(k=1 bis ∞) (e^{ikx})/k

Question

Für x ∈ (0,2π) und n ∈ IN sei s_n(x) := ∑ (k=1 bis n) e^{ikx}.

Wie kann ich mit Hilfe der geometrischen Summenformel zeigen, dass |s_n(x)| ≤ 1/(sin(x/2))

Answer 1

Hi,
es gilt wegen der Formel für die geometrische Reihe
$$ s_n(x) = e^{ix} \frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1} $$ erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner ergibt
$$ | s_n(x) | = \left| \frac{(e^{inx}-1)(e^{-ix}-1)}{2 - 2 \cos(x)}  \right| = \left| \frac{-2i \sin\left( \frac{x}{2}  \right)e^{\frac{1}{2}ix} (e^{inx}-1)}{2 - 2 \cos(x)}  \right| = \left| \frac{\sin\left( \frac{x}{2} \right)}{1 - \cos(x)} \right| | e^{inx}-1| $$
Der letzte Ausdruck ist kleiner als \( \frac{1}{\left| \sin\left( \frac{x}{2} \right) \right|} \) falls
$$ \frac{ \sin^2\left( \frac{x}{2} \right) }{1-\cos(x)}| e^{inx}-1| \le 1 $$ gilt. Die linke Seite lässt sich vereinfachen zu
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \cos{(nx)}} $$ Diese Funktion nimmt ihr Maximum für \( x = \frac{\pi}{n} \) an, also ist sie kleiner \( 1 \), was zu beweisen war.