Determinante det(A_n(a)) bestimmen und beweisen

Question

Zusatzaufgabe:

Gegeben ist die folgende Matrix:

\( A_{n}(\alpha):=\left(\begin{array}{cccc} \alpha & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & \alpha & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \ldots & \alpha \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(n, n, \mathbb{K}) \)

(a) Bestimmen Sie \( \operatorname{det}\left(A_{n}(0)\right) \).

(b) Zeigen Sie: \( \operatorname{det}\left(A_{n+1}(\alpha)\right)=(\alpha-1)^{n}(\alpha+n) \).

Answer 1

(1,...,1)^t ist Eigenvektor zum Eigenwert a+(n-1) und der EW a-1 hat geom. Vielfachheit n-1, also auch algebraische Vielfachheit n-1. (Die Argumentation funktioniert nicht im Fall char(K)|n )