Zeigen Sie, dass für alle i < d gilt: Kern( f^i) ⫋ Kern( f^{i+1})

Question

Sei V ein K-Vektorraum und f ∈ End(V) nilpotent mit Nilpotenzgrad d ≥ 1. Zeigen Sie, dass
für alle i < d gilt:
Kern( f^i) ⫋ Kern( f^{i+1})

Answer 1

Gilt für beliebige n \( ker(f^n)=ker(f^{n+1}) \), so gilt auch \( ker(f^{n+1})=ker(f^{n+2}) \), denn ist x \( \in ker(f^{n+2}) \), so ist \( f(x) \in ker(f^{n+1})=ker(f^n) \), d.h. \( f^{n+1}(x)=0 \), also \( x \in ker(f^{n+1}) \). $$ $$ Es ist aber \( f^i \neq 0 \) für i < d und \(f^d=0 \). Wäre also \( ker(f^i)=ker(f^{i+1}) \) so wäre \( ker(f^i)=ker(f^d)=ker(0)=V \), ein Widerspruch.