Bestand von Zebras in einem Reservat.

Question

In einem Reservat wurden die Wanderbewegungen von Zebras beobachtet. Dazu wurde das Reservat in 5 Regionen unterteilt. Eine Anzahl von Tieren wurde markiert und man konnte ein einigermaßen stabiles Wanderverhalten der Tiere beobachten. Die Übergangsmatrix beschreibt das Wanderverhalten der Tiere.

	Region 1	Region 2	Region 3	Region 4	Region 5
Region 1	0,60	0,10	0,05	0,20	0,15
Region 2	0,10	0,50	0,10	0,20	0,15
Region 3	0,05	0,10	0,70	0,10	0,00
Region 4	0,10	0,05	0,05	0,40	0,15
Region 5	0,15	0,25	0,10	0,10	0,55

Eine Zählung ergab für die 5 Regionen die folgenden Bestandsmengen: \( 2500,3600,1700,2100,2400 \).
a) Stellen Sie die Entwicklung in einem Ubergangsdiagramm dar und betrachten Sie die Entwicklung iber die nächsten 4 Jahre, wenn sich das Wanderverhalten der Tiere nicht verändert.

b) Betrachten Sie die langfristige Entwicklung des Tierbestands in den einzelnen Regionen bei stabilem Wanderverhalten. Bestiminen Sie die Verteilung 2 Jahre vor der Zahlung. Ertäutern Sie Ihr Verfahren.

c) Durch Veränderung der Lebensbedingungen sterben in den Regionen 3 und 5 \( 20 \% \) des jeweiligen Bestandes und in der Region 3 kommen von außen \( 10 \% \) des jeweillgen Bestandes hinzu. Das Wanderungsverhalten wird durch die veränderten Lebensbedingungen nicht beeinflusst, Untersuchen Sie die Entwicklung der Tierpopulation in den einzeinen Regionen und insgesamt.

Ansatz:

Schon allein der Anfangsvektor für a) mit dem angegebenen Tierbestand kann doch schon nicht sein, da dieser nicht stochastisch ist. Nur die Übergangsmatrix ist stochastisch. Kann man da noch die aufgabe machen und den Fixvektor bestimmen ?

Answer 1

Ein Tierbestand muss nicht stochastisch sein. Das wäre nur Stochastisch, wenn es die Verteilung der Tiere auf die Altersklasse ist.

M = [0.6, 0.1, 0.05, 0.2, 0.15; 0.1, 0.5, 0.1, 0.2, 0.15; 0.05, 0.1, 0.7, 0.1, 0; 0.1, 0.05, 0.05, 0.4, 0.15; 0.15, 0.25, 0.1, 0.1, 0.55]

v0 = [2500; 3600; 1700; 2100; 2400]

Die nächsten 4 Generationen sehen in etwa wie folgt aus

vn = M^n * v0

[0, [2500; 3600; 1700; 2100; 2400];
1, [2725; 3000; 1885; 1715; 2975];
2, [2819; 2750; 1927; 1649; 3155];
3, [2866; 2653; 1930; 1649; 3203];
4, [2891; 2616; 1924; 1656; 3213]]

Für einen Fixvektor gilt M * v = v

Also

a = 51/56·e ∧ b = 249/308·e ∧ c = 183/308·e ∧ d = 639/1232·e

z.B. a = 374 ∧ b = 332 ∧ c = 244 ∧ d = 213