Das ist ganz einfach. Es gilt erstmal das eine Matrix mal ihrer Inversen die Einheitsmatrix ergibt.
A * A^{-1} = E
Das ist also quasi so etwas wie der Kehrwert bei den reellen Zahlen.
x * 1/x = 1
Man sucht also eine Matrix X die mit A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt
A * X = E
Das kann man als Gleichungssystem in Matrizenform schreiben
\( \left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
bzw.
\( \left(\begin{array}{lll|lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \mid & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
Dieses System lösen wir mit dem Gauss so auf, dass auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht, dann steht auf der rechten Seite die Inverse.
