Warum ist Det(A) = 0 gleichbedeutend mit A hat keine inverse Matrix?

Question

Aufgabe:

Warum ist Det(A) = 0 gleichbedeutend mit A hat keine inverse Matrix? Erklären Sie die beiden Möglichkeiten der Berechnung der Inversen und beschreiben Sie, wie in jeder Det(A) = 0 es unmöglich macht, die Inverse zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Option 1:

Text erkannt:

\( A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right)^{T} \)

Hier ist es klar, da man nicht durch 0 dividieren darf

Option 2 -> mittels Schema -> Warum ist es hier unmöglich? Man könnte ja nur mit Zeilenoperationen herangehen die Zeilen vertauschen(Det -> 0 wird zu Det -> -0) bzw. Addieren, Subtrahieren von Vielfachen von Zeilen (Det ändert sich nicht)

Answer 1

Option 2 -> mittels Schema -> Warum ist es hier unmöglich? Man könnte ja nur mit Zeilenoperationen herangehen die Zeilen vertauschen(Det -> 0 wird zu Det -> -0) bzw. Addieren, Subtrahieren von Vielfachen von Zeilen (Det ändert sich nicht)

Wenn also anfangs Det=0 ist, dann bleibt es bei diesen

Umformungen dabei. Du kannst also nie die Einheitsmatrix erreichen;

denn die hat det=1.