Determinate gegeben andere Determinaten berechnen

Question

Es sei A ∈ Mat(3x3,ℚ) mit der(A)=3. Berechnen Sie:

1) det(A^-1)

2) det(A²)

3. det(A + A)

4. det(3A)

Begründen Sie Ihre Berechnungen.

 

Hier meine Lösungsansätze:

1) Ich weiß, dass gilt det(A^-1)= 1/(det(A)) aber ich weiß nicht wie ich das begründen soll.

2) Kein Lösungsansatz.

3) Mir ist aufgefallen das die Determinante immer 8*det(A) war. Begründen kann ich es jedoch nicht.

4) Kein Lösungsansatz.

Comments

Zu 1) ist mir grad eingefallen:  Es gilt ja A * A^-1= 1 gilt dann auch det(A)*det(A^-1)=1 weil damit wäre es ja bewiesen.

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$$\text{Tipp: }\det(c\cdot A)=\det(cI_3\cdot A)=\det(cI_3)\cdot\det(A)=c^3\cdot\det(A)\text{ für }c\in\mathbb R.$$

Answer 1

Die Lösungen ergeben sich aus dem Determinantenproduktsatz:

det ( A * B ) = det ( A ) * det ( B )

 

zu 1 )

Aus dem Determinantenproduktsatz folgt:

det ( A * A ^-1 ) = det ( E ) = 1 = det ( A ) * det ( A ^-1 )

<=> det ( A ^-1 ) = 1 / det ( A )

Für det ( A ) = 3 ergibt sich daher: 

det ( A ^-1 ) = 1 / det ( A ) = 1 / 3

 

zu 2)

Aus dem Determinantenproduktsatz folgt:

det ( A ² ) = det ( A ) * det ( A )

Für det ( A ) = 3 ergibt sich daher:

det ( A ² ) = det ( A ) * det ( A ) = 3 * 3 = 9

 

Die Lösungen zu 3) und 4) ergeben sich aus dem Determinantenproduktsatz und der Überlegung:

det ( k * A ) = det ( k * E_n * A )  = det ( k * E_n ) * det ( A )

wobei E_n die ( n x n )  - Einheitsmatrix und k ein beliebiger Skalar ist.

Da E_n eine Dreiecksmatrix ist, deren sämtliche Hauptdiagonalelemente den Wert 1 haben, ist auch k * E_n eine Dreiecksmatrix, deren sämtliche Hauptdiagonalelemente den Wert k haben. Die Determinante einer Dreiecksmatrix aber ist gerade das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente, also ist:

det ( k * E_n ) = k ⁿ

und somit:

det ( k * A ) = det ( k * E_n ) * det ( A ) = k ⁿ * det ( A )

 

Für die gegebene ( n x n ) - Matrix A mit n = 3 und det ( A ) = 3 ergibt sich somit:

zu 3 )

det ( A + A ) = det ( 2 A ) = 2 ³ det ( A ) = 8 * 3 = 24

zu 4 )

det ( 3 A ) = 3 ³ det ( A ) = 27 * 3 = 81