Gegeben sei die Matrixgleichung A·X + B = C mit den Matrizen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrixgleichung A·X + B = C mit den Matrizen

$$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 19 & -11 \\ -13 & -49 \end{pmatrix}$$

Bestimmen Sie die Matrix X und kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.

a: Die Determinante der Matrix A ist 16.

b: x₁₂ = -5

c: x₂₁ = -1

d: Die Determinante der Matrix X ist -56.

e: x₂₂ > 7

Hier ist mein Rechenweg. Laut meinen Ausführungen wäre nur Antwort A richtig, das ist aber leider falsch.

Comments

Wie kommt man auf die 51, -85, -68 und -204?

Answer 1

Die Determinante von $A$ ist $4\cdot 4 - (-1)\cdot 1=17$. Damit ist dann die Inverse $A^{-1}$

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 4/17& 1/17\\ -1/17 & 4/17\end{pmatrix}$$

$C-B$ hast Du richtig berechnet und $X$ wird zu

$$X=\begin{pmatrix} 3& -5\\ -4 & -12\end{pmatrix}$$

und die Determinante ist $|X|=-56$

Comments

Wie kommt man auf die 51, -85, -68 und -204?

---

Wie kommt man auf die 51, -85, -68 und -204?

Das ist eine Matrizenmultiplikation. Im Detail$$\phantom{=}\begin{pmatrix}{\color{red}4}& {\color{red}1}\\ -1& 4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{\color{blue}16}& -8\\ {\color{blue}-13}& -53\end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix}{\color{red}4}\cdot {\color{blue}16}+{\color{red}1}\cdot {\color{blue}(-13)}& 4\cdot(-8)+1\cdot(-85)\\ -1\cdot16+4\cdot(-13)& -1\cdot(-8)+4\cdot (-53)\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}51& -85\\ -68& -204\end{pmatrix}$$jackycola (s.o. die Frage) hat nur die Determinante von $A$ falsch berechnet. Es ist $\det(A)=17$ und somit ist $$X=\frac1{17}\begin{pmatrix}51& -85\\ -68& -204\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3& -5\\ -4& -12\end{pmatrix}$$