Polynome 7. Grades - Nullstellen bestimmen

Question

Mathecoach hat mir 2 aufgaben gegeben, die ich aber leider nicht lösen kann:(

kann mir einer bitte ganz genau erklären, wie man da vorgeht?

x⁷+3x⁶+5x⁵-x⁴+2x³+10x²+5 = 0

wie gehe ich hier vor?

diese funktion hab ich mir einfach ausgedacht.. im internet hab auch schon nach videos und wikipedia artikeln geschaut, aber konnte es trzd nicht

wenn ich das nicht kann, dann bin ich für heute nur noch schlecht gelaunt und hab ein schlechtes gewissen:(

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Für Interessierte die Lösung des Beispiels oben: x⁷+3x⁶+5x⁵-x⁴+2x³+10x²+5 = 0

Es gibt insgesamt 7 Lösungen bei Berücksichtigung von Reellen und Komplexen Zahlen:

x₁ = -0,00096984 + 0,67213355·i
x₂ = -0,00096984 - 0,67213355·i
x₃ = -1,40898447 (reell)
x₄ = 0,79738633 + 0,80852409·i
x₅ = 0,79738633 - 0,80852409·i
x₆ = -1,59192425 + 1,88605212·i
x₇ = -1,59192425 - 1,88605212·i

https://www.matheretter.de/rechner/polynomgleichung/?a7=1&a6=3&a5=5&a4=-1&a3=2&a2=10&a0=5

Als Graph hier.

Answer 1

Hi Emre,


es macht einen Unterschied, sich eine Funktion "einfach auszudenken", oder sie "gezielt auszudenken" :P. Hab das Polynom von Mathecoach jetzt nicht angeschaut, aber ich bin sicher das war gezielt ausgedacht.

Das bedeutet, dass es dort mit Sicherheit ganzzahlige Nullstellen gibt -> Polynomdivision.

D.h. bevor man sich mit der Polynomdivision befasst, sollte man vielleicht noch schauen, ob man ausklammern kann. Den Faktor x, ist er in allen enthalten, ist gut sichtbar und sollte direkt ausgeklammert werden. Dann eben die Polynomdivision, oder im Bedarfsfall, die Substitution.


In Deinem Fall, wenn keine ganzzahlige Nullstelle vorliegt, muss das Newtonverfahren oder ein anderes Näherungsverfahren verwendet werden ;).


Grüße

Comments

Hi Unknown:)

leider verstehe ich das nicht. Also ausklammern ist kein Problem, aber trzd

substitution das hab ich nur bei integralen gemacht .. ich weiß nicht mal was ich substiutieren soll:(

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Du kennst biquadratische Gleichungen? -> Ein typischer Fall bei dem die Subst. verwendet wird ;).

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Naja

das sind doch die zb

x⁶+2x³+...

oder x⁴+3x²-...??

 

aber die polynome 7 grades sind doch keine biqaudratische??

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F(x)=x^4+x^2. Subs. Z=x^2. F(x)=z^2+z. Gleich null. Z(z+1)=0. Z1=0 z2=-1. Ruecksubs. X1=0. X2=keine Lösung. Da wurzel - nicht geht. So macht man das noch fragen?

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Biquadratisch ist nur letzteres, aber richtig, auch bei x^6+2x^3+... kann die Subst. angewendet werden, wenn nur noch ein konstanter Term hinzu kommt! Das also hast Du wohl schon verstanden.


Bei einem Polynom 7ten Grades kann das nun nicht direkt subst. werden -> Ebenfalls richtig. Doch was passiert, wenn Du x ausklammerst (falls möglich)? -> Wir haben ein Faktor, welcher ein Polynom 6ten Grades ist. Nun kannst Du (eventuell) in der Klammer subst. . Und selbst wenn das nicht der Fall ist, wäre es weiterhin möglich, dass Du zwei weitere Nullstellen findest und letztlich einen Faktor 4ten Grades findest. Nun besteht wieder die Möglichkeit, dass Du subst. kannst.

Dass muss natürlich nicht sein, im Gegenteil, das wäre sogar ein Spezialfall. Aber es wäre schon wenn^^.

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@immai: In dem Fall wird sogar nicht subst. ;D. Das wäre mit Kanonen auf Spatzen geschossen :P. Aber das Prinzip ist natürlich richtig, aber wohl auch schon bekannt?! ;)

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Ich dachte ihm wäre es nicht klar^^ Ich hab gedacht ein simples beispiel hilft^^. Aber Was bedeutet eig ?! Im kombo? ;)

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Das ist beides: Eine Frage wie ein Ausrufesatz.

Sprich: Ich bin mir eigentlich sicher, dass das verstanden wurde, frage aber dennoch nochmals nach ;).

Regel 19, 3:

http://www.duden.de/sprachwissen/rechtschreibregeln/ausrufezeichen

:D

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@Unknown da kommen echt neue Dinge dazu, die ich nicht wusste Oo

und ich wusste nicht, dass man das so getrennt ausrechnen kann, also die Nullstellen. Also das mann zb erst falls möglich ausklammert und dann falls es auch möglich ist zu substi. substituiert und dann zb eine quadratische gleichung entsteht und dann noch die pq anwendet...

ich dachte immer, dass man es immer zsm ausrechnen muss. Ich weiß nicht wie ich meine Frage formulieren soll, aber ich hoffe du hast mich verstanden.

Dann mach ich mich mal morgen an die Arbeit :)

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Hmm? Natürlich weißt Du das. Wir hatten das sicher, denk ich zumindest, als "Satz vom Nullprodukt" bezeichnet.

 

Also nehmen wir mal:

f(x) = x^5-x

Die Nullstellen findest Du so:

f(x) = x(x^4-1)   

Erster Faktor anschauen:

x₁ = 0

Zweiter Faktor anschauen:

x^4-1 = 0

Hier erkennen der dritten binomischen Formel:

x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)

Damit steht f(x) nun folgendermaßen da:

f(x) = x^5-x = x(x^4-1) = x(x^2-1)(x^2+1)

Den ersten Faktor haben wir schon. Schauen wir die beiden anderen an:

x^2-1 = 0 --> (x-1)(x+1) = 0

--> x_2,3 = ±1

x^2+1 = 0 --> x^2 = -1

--> keine Nullstellen

 

Da sollte es bei Dir klingeln (hab extra ein Beispiel genommen, wo es keinen Taschenrechner braucht. Die dritte binomische Formel muss man natürlich erkennen, aber das sei mal hier dahin gestellt. Es geht mir hier gerade mehr um den "Satz vom Nullprodukt"!)

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Jain...eine Sache irritiert mich noch: 

f(x) = x⁵-x = x(x⁴-1) = x(x²-1)(x²+1) 

woher kommt die x⁵?

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Das war eine von mir erfundene Aufgabe?! :P

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Ahso weil ganz am Anfang stand x⁴ deshalb hats mir gewundert :)

ja jetzt ist das klar, aber bei aufgabe, wo höhere potenzen vorkommen..da muss ich halt überlegen..

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Das war von immai und nicht von mir, falls Du das meinst?


Und ja...überlegen sei Dir gestattet :D. Gibt auch keine Steuer darauf. Noch nicht!

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Ah dann hab ich falsch geguckt :)

ja deine Erklärung habe ich verstanden!!

wie immer..kannst du einfach super erklären!

Answer 2

Tut mir leid. Mit einfach ausgedachten Funktionen geht das nicht unbedingt.

Weil du die Polynomdivision bzw. Horner Schema nur anwenden kannst wenn es Nullstellen in Q gibt.

Comments

irgendwie schäme ich mich jetzt weil ich das nicht kann:(

denn bei allen aufgaben, die du mir gegeben hast, konnte ich die nicht selber:(

Answer 3

Also man macht entdweder polynom division oder durch ausklammern vielleicht sogar subst od benuetzt mitternachts formel^^ Ich hatte ja mathecoach nicht umsonst gefragt woher er seine funktionen her hat, da sie schöne ergebnisse hatten. Vielleicht hilft es dir erst mal 3. Und 4. Grades funktionen zu loesen damit du ein bisschen übung hast^^.