Nullstellenberechnung bei ganzrationaler Funktion f(x) = x^3 - 7/4x - 3/4

Question

Ich habe folgendes Problem:

Und zwar habe ich eine Funktion:

$$ { f\left( x \right) \quad =\quad x }^{ 3 }-\frac { 7 }{ 4 } x-\frac { 3 }{ 4 }  $$

Mein folgender Gedanke war es, diese auszuklammern, um an die Nullstellen zu kommen.

Dann würde das so stehen:

$$ x({ x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 4 } )\quad -\quad \frac { 3 }{ 4 } $$

Hier wird klar deutlich, dass die Funktion sich mit der y-Achse bei -0,75 schneidet.

Allerdings komme ich hier nicht weiter.

Ich dachte, wenn man diese Funktion so stehen hat, dass man dann schlussfolgern kann, dass es folgende Nullpunkte gibt:

$$ { x }_{ 1 }^{  }=\quad 0\\ \\  $$

(Wegen dem x vor der Klammer)

Und

$$ { x }_{ 2 }^{  }=\quad 1,322\\ \\  $$

(Wenn man die Klammer ausrechnet)

Aber wieso funktioniert das hier nicht?

Bei manchen Funktionen würde dieser Weg klappen und man hätte die Nullpunkte.

Gruß

Answer 1

\( f(x)=x^3-\frac { 7 }{ 4 } x-\frac { 3 }{ 4 }  \)

\( x^3-\frac { 7 }{ 4 } x-\frac { 3 }{ 4 }=0  \)

\(4 x^3-7x-3=0  \)

Lösung durch Probieren ist \(x=-1\)

Weiter mit Polynomdivision:

\((4 x^3-7x-3):(x+1)=4x^2-4x-3 \)

\(4x^2-4x-3=0 \)

\(x^2-1*x=\frac{3}{4} \)

\((x-0,5)^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\)

1.)

\(x-0,5=1\)

\(x_2=1,5\)

2.)

\(x-0,5=-1\)

\(x_3=-0,5\)

Comments

Hoch lebe die aussterbende quadratische Ergänzung! :)

Answer 2

habs mal schnell gerechnet:

Comments

Sehr nett, allerdings wusste ich natürlich, dass es durch die Polynomdivision rechenbar ist.

Nur wusste ich nicht, dass es durch ausklammern NICHT geht

---

nein . Ausklammern geht hier nicht , es müßte dann ein x bei 3/4 stehn.

Answer 3

Aber wieso funktioniert das hier nicht?
Bei manchen Funktionen würde dieser Weg klappen und man hätte die Nullpunkte.

Wenn Du den Funktionsterm faktorisierst, kannst Du zur Nullstellenbestimmung jeden Faktor einzeln gleich null setzen. Du hast aber nicht den ganzen Funktionsterm faktorisiert, sondern nur einen Teilterm. Das kann als ein Schritt zur vollständigen Faktorisierung sinnvoll sein; falls dies so sein sollte, muss aber noch weiter umgeformt werden.

Comments

Dein Ansatz ist dennoch interessant, wenn er richtig durchgeführt wird. Man könnte etwa so anfangen:
$$ \begin{aligned} f(x) &= x^3 - \frac { 7 }{ 4 } x-\frac { 3 }{ 4 } \\\,\\      &= x^3 - x - \frac { 3 }{ 4 } x-\frac { 3 }{ 4 } \\\,\\      &= x\cdot\left(x^2 - 1\right) - \frac { 3 }{ 4 } \cdot \left(x + 1\right) \\\,\\      &= x\cdot\left(x - 1\right)\cdot\left(x + 1\right) - \frac { 3 }{ 4 } \cdot \left(x + 1\right) \\\,\\      &= \left(x\cdot\left(x - 1\right) - \frac { 3 }{ 4 } \right)\cdot \left(x + 1\right) \\\,\\      &=\, ... \end{aligned} $$Dies lässt sich bis zur vollständigen Zerlegung in Linearfaktoren so weiter treiben. Ich verzichte an dieser Stelle darauf.

Answer 4

Bitte schau unter einer verwandten Frage; weil ich hab echt keinen Bock, alles zwei Mal zu sagen:

https://www.mathelounge.de/233362/wie-berechnet-man-die-nullstelle-bei-y-x-3-4x-1

Ich erwähne nur Stichwort artig, was wir benötigen. Den Spickzettel musst du schon selber erstellen bzw. die ganzen Beweise lernen - du kannst natürlich auch jeder Zeit ergänzende Fragen stellen.

Kannst du mich benachrichtigen? Das läuft hier scheints Mega kompliziert.

Als Erstes benötigst du den Wikilink, den ich in meiner Antwort habe betreffend den ===> Satz über die rationale Nullstelle ( SRN ) ( Hat dein Lehrer garantiert noch nie vernommen, weil er ja von Gauß stammt - haha )

Als Erstes besagt dieser SRN, dass wir das Polynom in ===> primitiver Form benötigen ( d.h. ganzzahlig gekürzt ) ( Deine Form ist die Normalform; die brauchen wir übrigens weiter unten dann doch noch. )

f ( x ) € |Z [ x ] := 4 x ³ - 7 x - 3    ( 1 )

Ich probiere hier einfach mal was ganz Neues, noch nie da Gewesenes. Ich gehe mit einem " Ansatz " in das Polynom rein, so wie man das bei ===> DGL schon lange gewohnt ist: Meine kühne Strategie besagt, dass Polynom ( 1 ) nicht nur einen RLF abspaltet, sondern vollständig zerfällt . Dann allerdings ist Raten mit System möglich.

Mit dem SRN verträglich sind nur zwei Konfigurationen. Denn wenn alle drei Wurzeln rational sind, ergibt sich quasi eine Querverbindung zu Vieta:

x1;2;3 := p1;2;3 / q1;2;3 € |Q     ( 2a )

p1 p2 p3 = - b0 = 3   ( 2b )

q1 q2 q3 = b3 = 4  ( 2c )

Es ist Aussage ( 2c ) auf die ich meine Hoffnung setze. weil das lässt uns doch nur noch die beiden Alternativen

x1 = Viertel ; x2 = Ganze ; x3 = Ganze  ( 3a )

x1 = Halbe ; x2 = Halbe ; x3 = Ganze  ( 3b )

Also in jedem Falle sind ganzzahlige Lösungen garantiert. Und es kann sich auch nur um 1 oder 3 handeln; lediglich das Vorzeichen ist noch strittig. Schon bei " Minus Eins " werden wir fündig.

x3 = ( - 1 )    ( 4a )

Jetzt war in obigem Link, also in der vorherigen Frage, die Rede von meinen beiden " Alfonsinischen pq-Formeln " ( AF )  Eine beständige Fehlerquelle für Schüler; ich gebs ja zu. Weil die AF sind ein Kind von Vieta;  und im Gegensatz zu Polynomdivision funktioniert Vieta bzw. AF nur mit ( deiner ) Normalform. Und da brauchen wir die eben doch.

f ( x ) = x ³ + a2 x ² + a1 x + a0   ( 4b )

a2 = - ( p + x3 ) = 0 ===> p = 1  ( 4c )

a0 = - q x3 = ( - 3/4 ) ===> q = ( - 3/4 )   ( 4d )

g ( x ) = x ² - p x + q = ( 5a )

= x ² - x - 3/4    ( 5b )

G ( x ) = a2 x ² + a1 x + a0 = ( 5c )

= 4 x ² - 4 x - 3   ( 5d )

Auch hier ist ( 5d ) wieder die primitive Form. Übrigens; analog ( 2bc ) gilt auch hier

p1 p2 = a0 = ( - 3 )   ( 6a )

q1 q2 = a2 = 4   ( 6b )

In Kl. 7 hatten wir mal einen Matelehrer

" Ist es selbstverständlich, dass ZWEI Punkte auf einer Geraden liegen?

Ist es selbstverständlich, dass drei Punkte auf einer Geraden liegen? "

Analog frage ich dich

" Ist es selbstverständlich, dassein QUADRATISCHES Polynom zerfällt, welches einen RLF abspaltet?

" Ist es selbstverständlich, dassein kubisches Polynom zerfällt, welches einen RLF abspaltet? "

Aus der Antwort magst du ersehen, welchen fundamentalen Erkenntnisgewinn ( meine ) pq-Formeln ( 6ab ) bedeuten. Denn wenn Gauß der Entdecker des SRN ist, bin ich immer noch der Entdecker von ( 6ab ) ...

Wir lösen das Problem hier nicht über die Mitternachtsformel ( MF ) sondern rein kombinatorisch durch Anwendung von ( 6ab ) Stammte das alles von Gauß, so gäbe es längst einen Königsweg zu quadratischen gleichungen, der über Teiler, tüfteln und Kombinatorik führt - Strategien, in denen sich Schüler schon immer gerne hervor taten. ( Hinreichende ) Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von ( 5ab )

p = x1 + x2    ( 6c )

In ( 6ab ) überleben 3 Kombinationen

| x1 | = 1/2 ; | x2 | = 3/2 ; | p | = 1  ( 7a ) ; ok

| x1 | = 1/4 ; | x2 | = 3 ; | p | = 11/4  ( 7b )

| x1 | = 3/4 ; | x2 | = 1 ; | p | = 1/4  ( 7c )

Jetzt in ( 7a ) noch das Vorzeichen richtig drehen - und fertig ist die Laube.

Auch den Freunden der MF bringt das einen Erkenntnisgewinn. Ich habe noch nie gejhört, dass ein Lehrer je erklärt hätte, wie man die Probe auf eine quadratische Gleichung macht.

Du beginnst mit ( 6ab ) Wenn diese beiden Bedingungen stimmen, kannst du nach menschlichem Ermessen sicher sein, dass es wirklich stimmt ( Bei Lycos hab ich Schülern ihr Zeugs korrigiert. )

Hinreichend wie gesagt ist allerdings erst die Probe auf ( 6c )

Einmal wurde mir doch recht deutlich, wie Schüler mit derartigen Infos umgehen. Eine Frage wieder bei Lycos

" Ich beherrsche die MF noch nicht; wer sieht meine Aufgaben durch? "

" Für dich hab ich bloß ein müdes Grinsen; wenn doch da steht a2 = 3 Wie können denn x1 und x2 beide ' Neuntel ' sein? "

" ICH bin Mathe 2 . Und du bist wahrscheinlich nur deshalb so frech, weil du selber Mathe 5 stehst.

Wenn du es besser weißt. Dann rechne mir doch die Aufgabe. "

WELCHES Motiv siegt hier? Will der mich bloß für seine Hausaufgaben ausnutzen? Oder denkt der gar weiter

" Ich darf kein schriftliches Geständnis ablegen, dass ich DIESES TEILERTEOREM JE VERSTANDEN HABE ... "