DGL, mittels Variation der Konstanten: y' + y*tan(x) = sin(2x)

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter: 

 

y' + y*tan(x) = sin(2x)

 

Erst muss ich ja die homogene Lösung finden. Aber ich schaffe es nicht, den sin und tan auf eine alleine zu bringen, damit ich sie 0 setzen kann. 

Answer 1

Hi Kickflip,

 

Homogener Teil:

y' + y*tan(x) = 0

y'/y = -tan(x)

∫1/y dy = ∫-tan(x) dx

ln(y) = ln(cos(x)) + c

y = c₁*cos(x)

 

Dann noch die partikuläre Lösung. Ansatz: h(x) = sin(2x) = 2*sin(x)cos(x)

y = a*sin(x) + b*cos(x)

y' = 2a*cos(2x) - 2b*sin(2x)

 

2a*cos(2x) - 2b*sin(2x) + (a*sin(2x) + b*cos(2x)) * tan(x) = sin(2x)

mit cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x) und sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

2a*(cos^2(x)-sin^2(x)) - 2b(2sin(x)cos(x)) + (2asin(x)cos(x) + b*(cos^2(x)-sin^2(x))) * tan(x) = 2sin(x)cos(x)

 

Das mache mal vollens selber fertig. Mit Koeffizientenvergleich kommst Du hoffentlich auf

y_p = -2cos^2(x)

 

Insgesamt also: y = c₁cos(x) - 2cos^2(x)

 

Grüße

Comments

Ab der partikulären Lösung verstehe ich leider gar nichts mehr. Gehört das alles zum Lösungsverfahren der Variation der Konstanten?
Woher kommt das a und das b ? Und was machst du dann? Was ist das für eine Ableitung? Die stimmt ja nicht..  a sin(x) dx wäre zb. a cos(x) ...
ich bin verwirrt.

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Achso verzeih. Mit Überschriften lesen habe ich es nicht so.

Da stand als Aufgabe nur die DGL und dass Du bei der homogenen Lösung hängst^^.

Für die Variation der Konstanten schau mal am besten hier rein. Hier steht doch schon einiges:

https://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten

Wohin der Weg führt, habe ich ja schon vedeutlicht^^.


Das von mir vorgeschlagene ist übrigen erst die homogeme Lösung zu finden und dann für den partikulären Teil den "Rechte Seite-Ansatz" zu wählen. Eventuell schon gehört ;).

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Ja, gute Arbeit von dir. Ich will dich jetzt nicht noch um mehr bitten. Danke.

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Wenn Du hängen bleibst, kannste ja nochmals nachfragen, oder Du stellst die Frage sogar erneut. Dann ändere ich den Titel hier zu "Löse" ab ohne Spezifikation?!

Eventuell reicht aber auch schon der Link und die Lösung als Denkansporn? ;)


Hab Dank für den Stern ;).